Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42114 / 9346
↖ ↑ ↗
← N 77.913369°
E 51.339111°		 ← 127.89 m → N 77.913369°
E 51.344604°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 77.912218°
E 51.339111°		 ← 127.91 m →
16 362 m²		 N 77.912218°
E 51.344604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9346 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642616271972656 y=0.142616271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642616271972656 × 216)
    floor (0.642616271972656 × 65536)
    floor (42114.5)     		tx = 42114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142616271972656 × 216)
    floor (0.142616271972656 × 65536)
    floor (9346.5)     		ty = 9346
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42114 / 9346 ti = "16/42114/9346"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42114/9346.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42114 ÷ 216
    42114 ÷ 65536     		x = 0.642608642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9346 ÷ 216
    9346 ÷ 65536     		y = 0.142608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642608642578125 × 2 - 1) × π
    0.28521728515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.89603653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142608642578125 × 2 - 1) × π
    0.71478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24555612580191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89603653} λ = 0.89603653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24555612580191))-π/2
    2×atan(9.44566707524926)-π/2
    2×1.46532057157101-π/2
    2.93064114314202-1.57079632675     		φ = 1.35984482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89603653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.339111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35984482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.913369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42114 KachelY 9346 0.89603653 1.35984482 51.339111 77.913369
    Oben rechts KachelX + 1 42115 KachelY 9346 0.89613240 1.35984482 51.344604 77.913369
    Unten links KachelX 42114 KachelY + 1 9347 0.89603653 1.35982474 51.339111 77.912218
    Unten rechts KachelX + 1 42115 KachelY + 1 9347 0.89613240 1.35982474 51.344604 77.912218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35984482-1.35982474) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dl = 127.929679999152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35984482-1.35982474) × R
    2.00799999998669e-05 × 6371000     		dr = 127.929679999152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89603653-0.89613240) × cos(1.35984482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209390408400496 × 6371000     		do = 127.893100606325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89603653-0.89613240) × cos(1.35982474) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20941004322727 × 6371000     		du = 127.905093318385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35984482)-sin(1.35982474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209390408400496-0.20941004322727)×R²
    abs(0.89613240-0.89603653)×1.96348267745838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96348267745838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96348267745838e-05×40589641000000     		ar = 16362.0905468993m²