Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42116 / 9348
↖ ↑ ↗
← N 77.911068°
E 51.350098°		 ← 127.92 m → N 77.911068°
E 51.355591°		 →
↑
127.93 m
↓
↑
127.93 m
↓
N 77.909917°
E 51.350098°		 ← 127.93 m →
16 365 m²		 N 77.909917°
E 51.355591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642646789550781 y=0.142646789550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642646789550781 × 216)
    floor (0.642646789550781 × 65536)
    floor (42116.5)     		tx = 42116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142646789550781 × 216)
    floor (0.142646789550781 × 65536)
    floor (9348.5)     		ty = 9348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42116 / 9348 ti = "16/42116/9348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42116/9348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42116 ÷ 216
    42116 ÷ 65536     		x = 0.64263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9348 ÷ 216
    9348 ÷ 65536     		y = 0.14263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64263916015625 × 2 - 1) × π
    0.2852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89622828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14263916015625 × 2 - 1) × π
    0.7147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24536437820343
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89622828} λ = 0.89622828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24536437820343))-π/2
    2×atan(9.44385606490553)-π/2
    2×1.46530049463457-π/2
    2.93060098926915-1.57079632675     		φ = 1.35980466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89622828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.350098°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35980466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.911068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42116 KachelY 9348 0.89622828 1.35980466 51.350098 77.911068
    Oben rechts KachelX + 1 42117 KachelY 9348 0.89632415 1.35980466 51.355591 77.911068
    Unten links KachelX 42116 KachelY + 1 9349 0.89622828 1.35978458 51.350098 77.909917
    Unten rechts KachelX + 1 42117 KachelY + 1 9349 0.89632415 1.35978458 51.355591 77.909917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35980466-1.35978458) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dl = 127.929680000566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35980466-1.35978458) × R
    2.00800000000889e-05 × 6371000     		dr = 127.929680000566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89622828-0.89632415) × cos(1.35980466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.20942967796961 × 6371000     		do = 127.917085978873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89622828-0.89632415) × cos(1.35978458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209449312627505 × 6371000     		du = 127.929078587784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35980466)-sin(1.35978458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20942967796961-0.209449312627505)×R²
    abs(0.89632415-0.89622828)×1.96346578959228e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96346578959228e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96346578959228e-05×40589641000000     		ar = 16365.1589817216m²