Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42128 / 9360
↖ ↑ ↗
← N 77.897255°
E 51.416016°		 ← 128.06 m → N 77.897255°
E 51.421509°		 →
↑
128.06 m
↓
↑
128.06 m
↓
N 77.896103°
E 51.416016°		 ← 128.07 m →
16 400 m²		 N 77.896103°
E 51.421509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.642829895019531 y=0.142829895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.642829895019531 × 216)
    floor (0.642829895019531 × 65536)
    floor (42128.5)     		tx = 42128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142829895019531 × 216)
    floor (0.142829895019531 × 65536)
    floor (9360.5)     		ty = 9360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42128 / 9360 ti = "16/42128/9360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42128/9360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42128 ÷ 216
    42128 ÷ 65536     		x = 0.642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9360 ÷ 216
    9360 ÷ 65536     		y = 0.142822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.642822265625 × 2 - 1) × π
    0.28564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89737876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142822265625 × 2 - 1) × π
    0.71435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24421389261255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89737876} λ = 0.89737876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24421389261255))-π/2
    2×atan(9.432997292209)-π/2
    2×1.46517995393398-π/2
    2.93035990786796-1.57079632675     		φ = 1.35956358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89737876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.416016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35956358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.897255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42128 KachelY 9360 0.89737876 1.35956358 51.416016 77.897255
    Oben rechts KachelX + 1 42129 KachelY 9360 0.89747463 1.35956358 51.421509 77.897255
    Unten links KachelX 42128 KachelY + 1 9361 0.89737876 1.35954348 51.416016 77.896103
    Unten rechts KachelX + 1 42129 KachelY + 1 9361 0.89747463 1.35954348 51.421509 77.896103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35956358-1.35954348) × R
    2.01000000001894e-05 × 6371000     		dl = 128.057100001207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35956358-1.35954348) × R
    2.01000000001894e-05 × 6371000     		dr = 128.057100001207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89737876-0.89747463) × cos(1.35956358) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209665405621616 × 6371000     		do = 128.06106554577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89737876-0.89747463) × cos(1.35954348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.209685058820449 × 6371000     		du = 128.073069479258m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35956358)-sin(1.35954348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209665405621616-0.209685058820449)×R²
    abs(0.89747463-0.89737876)×1.96531988322923e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.96531988322923e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.96531988322923e-05×40589641000000     		ar = 16399.8972717968m²