Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42144 / 9376
↖ ↑ ↗
← N 77.878814°
E 51.503906°		 ← 128.27 m → N 77.878814°
E 51.509400°		 →
↑
128.31 m
↓
↑
128.31 m
↓
N 77.877660°
E 51.503906°		 ← 128.28 m →
16 459 m²		 N 77.877660°
E 51.509400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643074035644531 y=0.143074035644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643074035644531 × 216)
    floor (0.643074035644531 × 65536)
    floor (42144.5)     		tx = 42144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143074035644531 × 216)
    floor (0.143074035644531 × 65536)
    floor (9376.5)     		ty = 9376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42144 / 9376 ti = "16/42144/9376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42144/9376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42144 ÷ 216
    42144 ÷ 65536     		x = 0.64306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9376 ÷ 216
    9376 ÷ 65536     		y = 0.14306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64306640625 × 2 - 1) × π
    0.2861328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.89891274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14306640625 × 2 - 1) × π
    0.7138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24267991182471
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.89891274} λ = 0.89891274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24267991182471))-π/2
    2×atan(9.41853834829735)-π/2
    2×1.4650190219259-π/2
    2.93003804385181-1.57079632675     		φ = 1.35924172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.89891274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35924172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.878814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42144 KachelY 9376 0.89891274 1.35924172 51.503906 77.878814
    Oben rechts KachelX + 1 42145 KachelY 9376 0.89900862 1.35924172 51.509400 77.878814
    Unten links KachelX 42144 KachelY + 1 9377 0.89891274 1.35922158 51.503906 77.877660
    Unten rechts KachelX + 1 42145 KachelY + 1 9377 0.89900862 1.35922158 51.509400 77.877660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35924172-1.35922158) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dl = 128.311939999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35924172-1.35922158) × R
    2.01399999999463e-05 × 6371000     		dr = 128.311939999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.89891274-0.89900862) × cos(1.35924172) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.209980100836179 × 6371000     		do = 128.266655366394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.89891274-0.89900862) × cos(1.35922158) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.20999979178558 × 6371000     		du = 128.278683611978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35924172)-sin(1.35922158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209980100836179-0.20999979178558)×R²
    abs(0.89900862-0.89891274)×1.9690949401463e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.9690949401463e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.9690949401463e-05×40589641000000     		ar = 16458.9150717424m²