Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42176 / 9152
↖ ↑ ↗
← N 78.134493°
E 51.679687°		 ← 125.60 m → N 78.134493°
E 51.685181°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 78.133364°
E 51.679687°		 ← 125.61 m →
15 781 m²		 N 78.133364°
E 51.685181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42176 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.643562316894531 y=0.139656066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.643562316894531 × 216)
    floor (0.643562316894531 × 65536)
    floor (42176.5)     		tx = 42176
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139656066894531 × 216)
    floor (0.139656066894531 × 65536)
    floor (9152.5)     		ty = 9152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42176 / 9152 ti = "16/42176/9152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42176/9152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42176 ÷ 216
    42176 ÷ 65536     		x = 0.6435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9152 ÷ 216
    9152 ÷ 65536     		y = 0.1396484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    0.287109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.90198070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1396484375 × 2 - 1) × π
    0.720703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26415564285449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90198070} λ = 0.90198070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26415564285449))-π/2
    2×atan(9.6229959244701)-π/2
    2×1.46725024610046-π/2
    2.93450049220092-1.57079632675     		φ = 1.36370417
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90198070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 51.679687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36370417 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.134493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42176 KachelY 9152 0.90198070 1.36370417 51.679687 78.134493
    Oben rechts KachelX + 1 42177 KachelY 9152 0.90207658 1.36370417 51.685181 78.134493
    Unten links KachelX 42176 KachelY + 1 9153 0.90198070 1.36368445 51.679687 78.133364
    Unten rechts KachelX + 1 42177 KachelY + 1 9153 0.90207658 1.36368445 51.685181 78.133364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36370417-1.36368445) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36370417-1.36368445) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90198070-0.90207658) × cos(1.36370417) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.205615061983061 × 6371000     		do = 125.600264922707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90198070-0.90207658) × cos(1.36368445) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.205634360584808 × 6371000     		du = 125.612053502147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36370417)-sin(1.36368445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205615061983061-0.205634360584808)×R²
    abs(0.90207658-0.90198070)×1.92986017474306e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.92986017474306e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.92986017474306e-05×40589641000000     		ar = 15780.670492107m²