Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 4223 / 12417
↖ ↑ ↗
← N 39.901309°
W133.604737°		 ← 937.18 m → N 39.901309°
W133.593750°		 →
↑
937.24 m
↓
↑
937.24 m
↓
N 39.892880°
W133.604737°		 ← 937.30 m →
878 416 m²		 N 39.892880°
W133.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.128890991210938 y=0.378952026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.128890991210938 × 215)
    floor (0.128890991210938 × 32768)
    floor (4223.5)     		tx = 4223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378952026367188 × 215)
    floor (0.378952026367188 × 32768)
    floor (12417.5)     		ty = 12417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4223 / 12417 ti = "15/4223/12417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4223/12417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4223 ÷ 215
    4223 ÷ 32768     		x = 0.128875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12417 ÷ 215
    12417 ÷ 32768     		y = 0.378936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.128875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.74224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.33184255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378936767578125 × 2 - 1) × π
    0.24212646484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.760662723171051
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33184255} λ = -2.33184255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.760662723171051))-π/2
    2×atan(2.1396937753656)-π/2
    2×1.1336027687269-π/2
    2.26720553745379-1.57079632675     		φ = 0.69640921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33184255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -133.604737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69640921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.901309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4223 KachelY 12417 -2.33184255 0.69640921 -133.604737 39.901309
    Oben rechts KachelX + 1 4224 KachelY 12417 -2.33165080 0.69640921 -133.593750 39.901309
    Unten links KachelX 4223 KachelY + 1 12418 -2.33184255 0.69626210 -133.604737 39.892880
    Unten rechts KachelX + 1 4224 KachelY + 1 12418 -2.33165080 0.69626210 -133.593750 39.892880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69640921-0.69626210) × R
    0.000147110000000006 × 6371000     		dl = 937.237810000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69640921-0.69626210) × R
    0.000147110000000006 × 6371000     		dr = 937.237810000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33184255--2.33165080) × cos(0.69640921) × R
    0.000191750000000379 × 0.767150501897154 × 6371000     		do = 937.181163776616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33184255--2.33165080) × cos(0.69626210) × R
    0.000191750000000379 × 0.767244859828497 × 6371000     		du = 937.296435129093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69640921)-sin(0.69626210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.767150501897154-0.767244859828497)×R²
    abs(-2.33165080--2.33184255)×9.43579313427145e-05×R²
    0.000191750000000379×9.43579313427145e-05×6371000²
    0.000191750000000379×9.43579313427145e-05×40589641000000     		ar = 878415.641430277m²