Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42240 / 9984
↖ ↑ ↗
← N 77.157163°
E 52.031250°		 ← 135.76 m → N 77.157163°
E 52.036743°		 →
↑
135.77 m
↓
↑
135.77 m
↓
N 77.155942°
E 52.031250°		 ← 135.78 m →
18 433 m²		 N 77.155942°
E 52.036743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644538879394531 y=0.152351379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644538879394531 × 216)
    floor (0.644538879394531 × 65536)
    floor (42240.5)     		tx = 42240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152351379394531 × 216)
    floor (0.152351379394531 × 65536)
    floor (9984.5)     		ty = 9984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42240 / 9984 ti = "16/42240/9984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42240/9984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42240 ÷ 216
    42240 ÷ 65536     		x = 0.64453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9984 ÷ 216
    9984 ÷ 65536     		y = 0.15234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64453125 × 2 - 1) × π
    0.2890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.90811663
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15234375 × 2 - 1) × π
    0.6953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18438864188672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90811663} λ = 0.90811663}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18438864188672))-π/2
    2×atan(8.88521484438621)-π/2
    2×1.45872142714891-π/2
    2.91744285429783-1.57079632675     		φ = 1.34664653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90811663} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.031250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34664653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.157163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42240 KachelY 9984 0.90811663 1.34664653 52.031250 77.157163
    Oben rechts KachelX + 1 42241 KachelY 9984 0.90821250 1.34664653 52.036743 77.157163
    Unten links KachelX 42240 KachelY + 1 9985 0.90811663 1.34662522 52.031250 77.155942
    Unten rechts KachelX + 1 42241 KachelY + 1 9985 0.90821250 1.34662522 52.036743 77.155942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34664653-1.34662522) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dl = 135.766009999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34664653-1.34662522) × R
    2.13099999999411e-05 × 6371000     		dr = 135.766009999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90811663-0.90821250) × cos(1.34664653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222277508521736 × 6371000     		do = 135.764383751144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90811663-0.90821250) × cos(1.34662522) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.222298285368382 × 6371000     		du = 135.777073994974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34664653)-sin(1.34662522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222277508521736-0.222298285368382)×R²
    abs(0.90821250-0.90811663)×2.0776846645032e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0776846645032e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0776846645032e-05×40589641000000     		ar = 18433.0501345617m²