Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42244 / 9476
↖ ↑ ↗
← N 77.762926°
E 52.053223°		 ← 129.47 m → N 77.762926°
E 52.058716°		 →
↑
129.46 m
↓
↑
129.46 m
↓
N 77.761761°
E 52.053223°		 ← 129.49 m →
16 762 m²		 N 77.761761°
E 52.058716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644599914550781 y=0.144599914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644599914550781 × 216)
    floor (0.644599914550781 × 65536)
    floor (42244.5)     		tx = 42244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144599914550781 × 216)
    floor (0.144599914550781 × 65536)
    floor (9476.5)     		ty = 9476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42244 / 9476 ti = "16/42244/9476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42244/9476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42244 ÷ 216
    42244 ÷ 65536     		x = 0.64459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9476 ÷ 216
    9476 ÷ 65536     		y = 0.14459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.64459228515625 × 2 - 1) × π
    0.2891845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90850012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14459228515625 × 2 - 1) × π
    0.7108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2330925319007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90850012} λ = 0.90850012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2330925319007))-π/2
    2×atan(9.32867072869817)-π/2
    2×1.46400771066852-π/2
    2.92801542133703-1.57079632675     		φ = 1.35721909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90850012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35721909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.762926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42244 KachelY 9476 0.90850012 1.35721909 52.053223 77.762926
    Oben rechts KachelX + 1 42245 KachelY 9476 0.90859600 1.35721909 52.058716 77.762926
    Unten links KachelX 42244 KachelY + 1 9477 0.90850012 1.35719877 52.053223 77.761761
    Unten rechts KachelX + 1 42245 KachelY + 1 9477 0.90859600 1.35719877 52.058716 77.761761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35721909-1.35719877) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dl = 129.458719999762m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35721909-1.35719877) × R
    2.03199999999626e-05 × 6371000     		dr = 129.458719999762m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90850012-0.90859600) × cos(1.35721909) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211957206769027 × 6371000     		do = 129.474373451441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90850012-0.90859600) × cos(1.35719877) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.211977065033493 × 6371000     		du = 129.486503901681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35721909)-sin(1.35719877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211957206769027-0.211977065033493)×R²
    abs(0.90859600-0.90850012)×1.98582644662104e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.98582644662104e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.98582644662104e-05×40589641000000     		ar = 16762.3718567479m²