Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42256 / 9488
↖ ↑ ↗
← N 77.748946°
E 52.119141°		 ← 129.61 m → N 77.748946°
E 52.124634°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
N 77.747781°
E 52.119141°		 ← 129.62 m →
16 796 m²		 N 77.747781°
E 52.124634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.644783020019531 y=0.144783020019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.644783020019531 × 216)
    floor (0.644783020019531 × 65536)
    floor (42256.5)     		tx = 42256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144783020019531 × 216)
    floor (0.144783020019531 × 65536)
    floor (9488.5)     		ty = 9488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42256 / 9488 ti = "16/42256/9488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42256/9488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42256 ÷ 216
    42256 ÷ 65536     		x = 0.644775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9488 ÷ 216
    9488 ÷ 65536     		y = 0.144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.644775390625 × 2 - 1) × π
    0.28955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.90965061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144775390625 × 2 - 1) × π
    0.71044921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23194204630981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.90965061} λ = 0.90965061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23194204630981))-π/2
    2×atan(9.31794439886981)-π/2
    2×1.4638857152465-π/2
    2.927771430493-1.57079632675     		φ = 1.35697510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.90965061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 52.119141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35697510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.748946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42256 KachelY 9488 0.90965061 1.35697510 52.119141 77.748946
    Oben rechts KachelX + 1 42257 KachelY 9488 0.90974648 1.35697510 52.124634 77.748946
    Unten links KachelX 42256 KachelY + 1 9489 0.90965061 1.35695476 52.119141 77.747781
    Unten rechts KachelX + 1 42257 KachelY + 1 9489 0.90974648 1.35695476 52.124634 77.747781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35697510-1.35695476) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35697510-1.35695476) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.90965061-0.90974648) × cos(1.35697510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212195646748196 × 6371000     		do = 129.606505881035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.90965061-0.90974648) × cos(1.35695476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.212215523505622 × 6371000     		du = 129.618646361378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35697510)-sin(1.35695476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212195646748196-0.212215523505622)×R²
    abs(0.90974648-0.90965061)×1.98767574260683e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.98767574260683e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.98767574260683e-05×40589641000000     		ar = 16795.9934358114m²