Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4231 / 4233
↖ ↑ ↗
← S  6.009459°
E  5.932617°		 ← 4 859.64 m → S  6.009459°
E  5.976562°		 →
↑
4 859.42 m
↓
↑
4 859.42 m
↓
S  6.053161°
E  5.932617°		 ← 4 859.25 m →
23 614 065 m²		 S  6.053161°
E  5.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4233 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51654052734375 y=0.51678466796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51654052734375 × 213)
    floor (0.51654052734375 × 8192)
    floor (4231.5)     		tx = 4231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51678466796875 × 213)
    floor (0.51678466796875 × 8192)
    floor (4233.5)     		ty = 4233
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4231 / 4233 ti = "13/4231/4233"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4231/4233.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4231 ÷ 213
    4231 ÷ 8192     		x = 0.5164794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4233 ÷ 213
    4233 ÷ 8192     		y = 0.5167236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5164794921875 × 2 - 1) × π
    0.032958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.10354370
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5167236328125 × 2 - 1) × π
    -0.033447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.105077683967163
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.10354370} λ = 0.10354370}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.105077683967163))-π/2
    2×atan(0.900254584522185)-π/2
    2×0.732955738414677-π/2
    1.46591147682935-1.57079632675     		φ = -0.10488485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.10354370} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 5.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10488485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.009459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4231 KachelY 4233 0.10354370 -0.10488485 5.932617 -6.009459
    Oben rechts KachelX + 1 4232 KachelY 4233 0.10431069 -0.10488485 5.976562 -6.009459
    Unten links KachelX 4231 KachelY + 1 4234 0.10354370 -0.10564759 5.932617 -6.053161
    Unten rechts KachelX + 1 4232 KachelY + 1 4234 0.10431069 -0.10564759 5.976562 -6.053161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10488485--0.10564759) × R
    0.000762739999999998 × 6371000     		dl = 4859.41653999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10488485--0.10564759) × R
    0.000762739999999998 × 6371000     		dr = 4859.41653999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.10354370-0.10431069) × cos(-0.10488485) × R
    0.000766989999999995 × 0.994504624700713 × 6371000     		do = 4859.64017547397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.10354370-0.10431069) × cos(-0.10564759) × R
    0.000766989999999995 × 0.994424482147217 × 6371000     		du = 4859.24855942407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10488485)-sin(-0.10564759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994504624700713-0.994424482147217)×R²
    abs(0.10431069-0.10354370)×8.01425534957545e-05×R²
    0.000766989999999995×8.01425534957545e-05×6371000²
    0.000766989999999995×8.01425534957545e-05×40589641000000     		ar = 23614065.4792257m²