Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 424 / 744
↖ ↑ ↗
← S 62.915233°
W 30.937500°		 ← 17.799 km → S 62.915233°
W 30.585937°		 →
↑
17.750 km
↓
↑
17.750 km
↓
S 63.074866°
W 30.937500°		 ← 17.702 km →
315.075 km²		 S 63.074866°
W 30.585937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41455078125 y=0.72705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41455078125 × 210)
    floor (0.41455078125 × 1024)
    floor (424.5)     		tx = 424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.72705078125 × 210)
    floor (0.72705078125 × 1024)
    floor (744.5)     		ty = 744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 424 / 744 ti = "10/424/744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/424/744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 424 ÷ 210
    424 ÷ 1024     		x = 0.4140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 744 ÷ 210
    744 ÷ 1024     		y = 0.7265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4140625 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.53996124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7265625 × 2 - 1) × π
    -0.453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.53996124} λ = -0.53996124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.42353417111719))-π/2
    2×atan(0.240861265971343)-π/2
    2×0.236359180307522-π/2
    0.472718360615044-1.57079632675     		φ = -1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.53996124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.937500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 424 KachelY 744 -0.53996124 -1.09807797 -30.937500 -62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 425 KachelY 744 -0.53382531 -1.09807797 -30.585937 -62.915233
    Unten links KachelX 424 KachelY + 1 745 -0.53996124 -1.10086408 -30.937500 -63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 425 KachelY + 1 745 -0.53382531 -1.10086408 -30.585937 -63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09807797--1.10086408) × R
    0.00278610999999995 × 6371000     		dl = 17750.3068099997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09807797--1.10086408) × R
    0.00278610999999995 × 6371000     		dr = 17750.3068099997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.53996124--0.53382531) × cos(-1.09807797) × R
    0.00613593000000001 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 17798.9131048764m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.53996124--0.53382531) × cos(-1.10086408) × R
    0.00613593000000001 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 17701.8737540856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09807797)-sin(-1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.53382531--0.53996124)×0.00248233208566917×R²
    0.00613593000000001×0.00248233208566917×6371000²
    0.00613593000000001×0.00248233208566917×40589641000000     		ar = 315075133.183354m²