Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4241 / 4239
↖ ↑ ↗
← S  6.271618°
E  6.372070°		 ← 4 857.25 m → S  6.271618°
E  6.416016°		 →
↑
4 857.06 m
↓
↑
4 857.06 m
↓
S  6.315298°
E  6.372070°		 ← 4 856.84 m →
23 590 954 m²		 S  6.315298°
E  6.416016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4239 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.51776123046875 y=0.51751708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.51776123046875 × 213)
    floor (0.51776123046875 × 8192)
    floor (4241.5)     		tx = 4241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.51751708984375 × 213)
    floor (0.51751708984375 × 8192)
    floor (4239.5)     		ty = 4239
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4241 / 4239 ti = "13/4241/4239"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4241/4239.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4241 ÷ 213
    4241 ÷ 8192     		x = 0.5177001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4239 ÷ 213
    4239 ÷ 8192     		y = 0.5174560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5177001953125 × 2 - 1) × π
    0.035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.11121361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5174560546875 × 2 - 1) × π
    -0.034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.109679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.11121361} λ = 0.11121361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.109679626330688))-π/2
    2×atan(0.896121182944347)-π/2
    2×0.730667971074082-π/2
    1.46133594214816-1.57079632675     		φ = -0.10946038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.11121361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 6.372070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.10946038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -6.271618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4241 KachelY 4239 0.11121361 -0.10946038 6.372070 -6.271618
    Oben rechts KachelX + 1 4242 KachelY 4239 0.11198060 -0.10946038 6.416016 -6.271618
    Unten links KachelX 4241 KachelY + 1 4240 0.11121361 -0.11022275 6.372070 -6.315298
    Unten rechts KachelX + 1 4242 KachelY + 1 4240 0.11198060 -0.11022275 6.416016 -6.315298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.10946038--0.11022275) × R
    0.000762369999999998 × 6371000     		dl = 4857.05926999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.10946038--0.11022275) × R
    0.000762369999999998 × 6371000     		dr = 4857.05926999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.11121361-0.11198060) × cos(-0.10946038) × R
    0.000766989999999995 × 0.994015191805612 × 6371000     		do = 4857.24856491616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.11121361-0.11198060) × cos(-0.11022275) × R
    0.000766989999999995 × 0.993931620181548 × 6371000     		du = 4856.84019273593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.10946038)-sin(-0.11022275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.994015191805612-0.993931620181548)×R²
    abs(0.11198060-0.11121361)×8.35716240639162e-05×R²
    0.000766989999999995×8.35716240639162e-05×6371000²
    0.000766989999999995×8.35716240639162e-05×40589641000000     		ar = 23590953.5675828m²