Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42495 / 9729
↖ ↑ ↗
← N 77.464836°
E 53.432007°		 ← 132.56 m → N 77.464836°
E 53.437500°		 →
↑
132.58 m
↓
↑
132.58 m
↓
N 77.463644°
E 53.432007°		 ← 132.58 m →
17 576 m²		 N 77.463644°
E 53.437500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42495 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648429870605469 y=0.148460388183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648429870605469 × 216)
    floor (0.648429870605469 × 65536)
    floor (42495.5)     		tx = 42495
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148460388183594 × 216)
    floor (0.148460388183594 × 65536)
    floor (9729.5)     		ty = 9729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42495 / 9729 ti = "16/42495/9729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42495/9729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42495 ÷ 216
    42495 ÷ 65536     		x = 0.648422241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9729 ÷ 216
    9729 ÷ 65536     		y = 0.148452758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648422241210938 × 2 - 1) × π
    0.296844482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93256445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148452758789062 × 2 - 1) × π
    0.703094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20883646069295
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93256445} λ = 0.93256445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20883646069295))-π/2
    2×atan(9.10511606684907)-π/2
    2×1.46140638739534-π/2
    2.92281277479067-1.57079632675     		φ = 1.35201645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93256445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.432007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35201645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.464836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42495 KachelY 9729 0.93256445 1.35201645 53.432007 77.464836
    Oben rechts KachelX + 1 42496 KachelY 9729 0.93266032 1.35201645 53.437500 77.464836
    Unten links KachelX 42495 KachelY + 1 9730 0.93256445 1.35199564 53.432007 77.463644
    Unten rechts KachelX + 1 42496 KachelY + 1 9730 0.93266032 1.35199564 53.437500 77.463644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35201645-1.35199564) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dl = 132.580510000594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35201645-1.35199564) × R
    2.08100000000933e-05 × 6371000     		dr = 132.580510000594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93256445-0.93266032) × cos(1.35201645) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.217038745813307 × 6371000     		do = 132.564611558904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93256445-0.93266032) × cos(1.35199564) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.21705905971813 × 6371000     		du = 132.577019043531m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35201645)-sin(1.35199564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.217038745813307-0.21705905971813)×R²
    abs(0.93266032-0.93256445)×2.03139048230994e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03139048230994e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03139048230994e-05×40589641000000     		ar = 17576.3063046092m²