Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42496 / 56832
↖ ↑ ↗
← S 78.630006°
E 53.437500°		 ← 120.41 m → S 78.630006°
E 53.442993°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 78.631089°
E 53.437500°		 ← 120.40 m →
14 498 m²		 S 78.631089°
E 53.442993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648445129394531 y=0.867195129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648445129394531 × 216)
    floor (0.648445129394531 × 65536)
    floor (42496.5)     		tx = 42496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.867195129394531 × 216)
    floor (0.867195129394531 × 65536)
    floor (56832.5)     		ty = 56832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42496 / 56832 ti = "16/42496/56832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42496/56832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42496 ÷ 216
    42496 ÷ 65536     		x = 0.6484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56832 ÷ 216
    56832 ÷ 65536     		y = 0.8671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6484375 × 2 - 1) × π
    0.296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.93266032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8671875 × 2 - 1) × π
    -0.734375 × 3.1415926535     		Φ = -2.30710710491406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93266032} λ = 0.93266032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.30710710491406))-π/2
    2×atan(0.099548819698183)-π/2
    2×0.0992219193946073-π/2
    0.198443838789215-1.57079632675     		φ = -1.37235249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93266032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37235249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.630006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42496 KachelY 56832 0.93266032 -1.37235249 53.437500 -78.630006
    Oben rechts KachelX + 1 42497 KachelY 56832 0.93275619 -1.37235249 53.442993 -78.630006
    Unten links KachelX 42496 KachelY + 1 56833 0.93266032 -1.37237139 53.437500 -78.631089
    Unten rechts KachelX + 1 42497 KachelY + 1 56833 0.93275619 -1.37237139 53.442993 -78.631089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37235249--1.37237139) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dl = 120.411900000987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37235249--1.37237139) × R
    1.89000000001549e-05 × 6371000     		dr = 120.411900000987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93266032-0.93275619) × cos(-1.37235249) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197143947310492 × 6371000     		do = 120.41311194677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93266032-0.93275619) × cos(-1.37237139) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.197125418196232 × 6371000     		du = 120.401794590391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37235249)-sin(-1.37237139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197143947310492-0.197125418196232)×R²
    abs(0.93275619-0.93266032)×1.85291142603961e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85291142603961e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85291142603961e-05×40589641000000     		ar = 14498.4902229845m²