Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 42497 / 9727
↖ ↑ ↗
← N 77.467220°
E 53.442993°		 ← 132.55 m → N 77.467220°
E 53.448487°		 →
↑
132.52 m
↓
↑
132.52 m
↓
N 77.466029°
E 53.442993°		 ← 132.57 m →
17 566 m²		 N 77.466029°
E 53.448487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.648460388183594 y=0.148429870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.648460388183594 × 216)
    floor (0.648460388183594 × 65536)
    floor (42497.5)     		tx = 42497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.148429870605469 × 216)
    floor (0.148429870605469 × 65536)
    floor (9727.5)     		ty = 9727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42497 / 9727 ti = "16/42497/9727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42497/9727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42497 ÷ 216
    42497 ÷ 65536     		x = 0.648452758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9727 ÷ 216
    9727 ÷ 65536     		y = 0.148422241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.648452758789062 × 2 - 1) × π
    0.296905517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.93275619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.148422241210938 × 2 - 1) × π
    0.703155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.20902820829143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.93275619} λ = 0.93275619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20902820829143))-π/2
    2×atan(9.10686211838402)-π/2
    2×1.46142719377736-π/2
    2.92285438755473-1.57079632675     		φ = 1.35205806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.93275619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 53.442993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35205806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.467220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42497 KachelY 9727 0.93275619 1.35205806 53.442993 77.467220
    Oben rechts KachelX + 1 42498 KachelY 9727 0.93285207 1.35205806 53.448487 77.467220
    Unten links KachelX 42497 KachelY + 1 9728 0.93275619 1.35203726 53.442993 77.466029
    Unten rechts KachelX + 1 42498 KachelY + 1 9728 0.93285207 1.35203726 53.448487 77.466029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35205806-1.35203726) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dl = 132.516800000981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35205806-1.35203726) × R
    2.0800000000154e-05 × 6371000     		dr = 132.516800000981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.93275619-0.93285207) × cos(1.35205806) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.21699812748342 × 6371000     		do = 132.553627330542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.93275619-0.93285207) × cos(1.35203726) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.217018431814494 × 6371000     		du = 132.566030261229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35205806)-sin(1.35203726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21699812748342-0.217018431814494)×R²
    abs(0.93285207-0.93275619)×2.03043310740558e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.03043310740558e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.03043310740558e-05×40589641000000     		ar = 17566.4043213064m²