Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 426 / 682
↖ ↑ ↗
← S 51.179343°
W 30.234375°		 ← 24.506 km → S 51.179343°
W 29.882813°		 →
↑
24.448 km
↓
↑
24.448 km
↓
S 51.399206°
W 30.234375°		 ← 24.389 km →
597.687 km²		 S 51.399206°
W 29.882813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.41650390625 y=0.66650390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.41650390625 × 210)
    floor (0.41650390625 × 1024)
    floor (426.5)     		tx = 426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.66650390625 × 210)
    floor (0.66650390625 × 1024)
    floor (682.5)     		ty = 682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 426 / 682 ti = "10/426/682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/426/682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 426 ÷ 210
    426 ÷ 1024     		x = 0.416015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 682 ÷ 210
    682 ÷ 1024     		y = 0.666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.52768939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666015625 × 2 - 1) × π
    -0.33203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04310693573242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52768939} λ = -0.52768939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04310693573242))-π/2
    2×atan(0.352358225170011)-π/2
    2×0.338774141408772-π/2
    0.677548282817545-1.57079632675     		φ = -0.89324804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52768939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -30.234375°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89324804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.179343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 426 KachelY 682 -0.52768939 -0.89324804 -30.234375 -51.179343
    Oben rechts KachelX + 1 427 KachelY 682 -0.52155347 -0.89324804 -29.882813 -51.179343
    Unten links KachelX 426 KachelY + 1 683 -0.52768939 -0.89708537 -30.234375 -51.399206
    Unten rechts KachelX + 1 427 KachelY + 1 683 -0.52155347 -0.89708537 -29.882813 -51.399206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89324804--0.89708537) × R
    0.00383732999999997 × 6371000     		dl = 24447.6294299998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89324804--0.89708537) × R
    0.00383732999999997 × 6371000     		dr = 24447.6294299998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52768939--0.52155347) × cos(-0.89324804) × R
    0.00613592000000007 × 0.626884750821521 × 6371000     		do = 24506.1450279417m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52768939--0.52155347) × cos(-0.89708537) × R
    0.00613592000000007 × 0.62389043284113 × 6371000     		du = 24389.0913101873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89324804)-sin(-0.89708537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626884750821521-0.62389043284113)×R²
    abs(-0.52155347--0.52768939)×0.00299431798039085×R²
    0.00613592000000007×0.00299431798039085×6371000²
    0.00613592000000007×0.00299431798039085×40589641000000     		ar = 597687042.860475m²