Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 42944 / 10432
N 76.598545°
E 55.898437°
← 141.56 m → N 76.598545°
E 55.903930°

141.56 m

141.56 m
N 76.597272°
E 55.898437°
← 141.58 m →
20 041 m²
N 76.597272°
E 55.903930°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 42944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.655281066894531 y=0.159187316894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.655281066894531 × 216)
    floor (0.655281066894531 × 65536)
    floor (42944.5)
    tx = 42944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159187316894531 × 216)
    floor (0.159187316894531 × 65536)
    floor (10432.5)
    ty = 10432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 42944 / 10432 ti = "16/42944/10432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/42944/10432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 42944 ÷ 216
    42944 ÷ 65536
    x = 0.6552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10432 ÷ 216
    10432 ÷ 65536
    y = 0.1591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.6552734375 × 2 - 1) × π
    0.310546875 × 3.1415926535
    Λ = 0.97561178
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.1591796875 × 2 - 1) × π
    0.681640625 × 3.1415926535
    Φ = 2.14143717982715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.97561178} λ = 0.97561178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14143717982715))-π/2
    2×atan(8.51166163112914)-π/2
    2×1.4538465702352-π/2
    2.9076931404704-1.57079632675
    φ = 1.33689681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.97561178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 55.898437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33689681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.598545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 42944 KachelY 10432 0.97561178 1.33689681 55.898437 76.598545
    Oben rechts KachelX + 1 42945 KachelY 10432 0.97570765 1.33689681 55.903930 76.598545
    Unten links KachelX 42944 KachelY + 1 10433 0.97561178 1.33687459 55.898437 76.597272
    Unten rechts KachelX + 1 42945 KachelY + 1 10433 0.97570765 1.33687459 55.903930 76.597272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.33689681-1.33687459) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000
    dl = 141.563619999756m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.33689681-1.33687459) × R
    2.22199999999617e-05 × 6371000
    dr = 141.563619999756m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.97561178-0.97570765) × cos(1.33689681) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231772609035297 × 6371000
    do = 141.563875019748m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.97561178-0.97570765) × cos(1.33687459) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.231794223927306 × 6371000
    du = 141.577077131436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.33689681)-sin(1.33687459))×
    abs(λ12)×abs(0.231772609035297-0.231794223927306)×
    abs(0.97570765-0.97561178)×2.16148920082204e-05×
    9.58699999999979e-05×2.16148920082204e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16148920082204e-05×40589641000000
    ar = 20041.2290793435m²