Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 43 / 61
↖ ↑ ↗
← S 83.359512°
E 61.875000°		 ← 72.329 km → S 83.359512°
E 67.500000°		 →
↑
68.913 km
↓
↑
68.913 km
↓
S 83.979259°
E 61.875000°		 ← 65.605 km →
4 752.75 km²		 S 83.979259°
E 67.500000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6796875 y=0.9609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6796875 × 26)
    floor (0.6796875 × 64)
    floor (43.5)     		tx = 43
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9609375 × 26)
    floor (0.9609375 × 64)
    floor (61.5)     		ty = 61
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 43 / 61 ti = "6/43/61"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/43/61.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43 ÷ 26
    43 ÷ 64     		x = 0.671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61 ÷ 26
    61 ÷ 64     		y = 0.953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671875 × 2 - 1) × π
    0.34375 × 3.1415926535     		Λ = 1.07992247
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.953125 × 2 - 1) × π
    -0.90625 × 3.1415926535     		Φ = -2.84706834223438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07992247} λ = 1.07992247}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.84706834223438))-π/2
    2×atan(0.0580141494453179)-π/2
    2×0.057949195618051-π/2
    0.115898391236102-1.57079632675     		φ = -1.45489794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07992247} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.45489794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -83.359512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43 KachelY 61 1.07992247 -1.45489794 61.875000 -83.359512
    Oben rechts KachelX + 1 44 KachelY 61 1.17809725 -1.45489794 67.500000 -83.359512
    Unten links KachelX 43 KachelY + 1 62 1.07992247 -1.46571458 61.875000 -83.979259
    Unten rechts KachelX + 1 44 KachelY + 1 62 1.17809725 -1.46571458 67.500000 -83.979259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.45489794--1.46571458) × R
    0.01081664 × 6371000     		dl = 68912.8134400003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.45489794--1.46571458) × R
    0.01081664 × 6371000     		dr = 68912.8134400003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07992247-1.17809725) × cos(-1.45489794) × R
    0.0981747799999999 × 0.115639094724005 × 6371000     		do = 72328.9607393076m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07992247-1.17809725) × cos(-1.46571458) × R
    0.0981747799999999 × 0.104888465058156 × 6371000     		du = 65604.7480249148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.45489794)-sin(-1.46571458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.115639094724005-0.104888465058156)×R²
    abs(1.17809725-1.07992247)×0.0107506296658491×R²
    0.0981747799999999×0.0107506296658491×6371000²
    0.0981747799999999×0.0107506296658491×40589641000000     		ar = 4752746308.82648m²