Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43000 / 10232
↖ ↑ ↗
← N 76.850817°
E 56.206054°		 ← 138.96 m → N 76.850817°
E 56.211548°		 →
↑
138.95 m
↓
↑
138.95 m
↓
N 76.849567°
E 56.206054°		 ← 138.97 m →
19 310 m²		 N 76.849567°
E 56.211548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656135559082031 y=0.156135559082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656135559082031 × 216)
    floor (0.656135559082031 × 65536)
    floor (43000.5)     		tx = 43000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156135559082031 × 216)
    floor (0.156135559082031 × 65536)
    floor (10232.5)     		ty = 10232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43000 / 10232 ti = "16/43000/10232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43000/10232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43000 ÷ 216
    43000 ÷ 65536     		x = 0.6561279296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10232 ÷ 216
    10232 ÷ 65536     		y = 0.1561279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6561279296875 × 2 - 1) × π
    0.312255859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98098071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1561279296875 × 2 - 1) × π
    0.687744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16061193967517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98098071} λ = 0.98098071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16061193967517))-π/2
    2×atan(8.67644549549794)-π/2
    2×1.4560480594354-π/2
    2.91209611887079-1.57079632675     		φ = 1.34129979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98098071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.206054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34129979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.850817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43000 KachelY 10232 0.98098071 1.34129979 56.206054 76.850817
    Oben rechts KachelX + 1 43001 KachelY 10232 0.98107659 1.34129979 56.211548 76.850817
    Unten links KachelX 43000 KachelY + 1 10233 0.98098071 1.34127798 56.206054 76.849567
    Unten rechts KachelX + 1 43001 KachelY + 1 10233 0.98107659 1.34127798 56.211548 76.849567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34129979-1.34127798) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dl = 138.95151000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34129979-1.34127798) × R
    2.1810000000011e-05 × 6371000     		dr = 138.95151000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98098071-0.98107659) × cos(1.34129979) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227487289458643 × 6371000     		do = 138.96094744707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98098071-0.98107659) × cos(1.34127798) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227508527569235 × 6371000     		du = 138.973920778357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34129979)-sin(1.34127798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227487289458643-0.227508527569235)×R²
    abs(0.98107659-0.98098071)×2.12381105914039e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.12381105914039e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.12381105914039e-05×40589641000000     		ar = 19309.7348116524m²