Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43007 / 59393
↖ ↑ ↗
← S 81.094065°
E 56.244507°		 ← 94.56 m → S 81.094065°
E 56.250000°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
S 81.094915°
E 56.244507°		 ← 94.55 m →
8 940 m²		 S 81.094915°
E 56.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656242370605469 y=0.906272888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656242370605469 × 216)
    floor (0.656242370605469 × 65536)
    floor (43007.5)     		tx = 43007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906272888183594 × 216)
    floor (0.906272888183594 × 65536)
    floor (59393.5)     		ty = 59393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43007 / 59393 ti = "16/43007/59393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43007/59393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43007 ÷ 216
    43007 ÷ 65536     		x = 0.656234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59393 ÷ 216
    59393 ÷ 65536     		y = 0.906265258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656234741210938 × 2 - 1) × π
    0.312469482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98165183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906265258789062 × 2 - 1) × π
    -0.812530517578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55263990476799
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98165183} λ = 0.98165183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55263990476799))-π/2
    2×atan(0.0778758096788802)-π/2
    2×0.0777189504331117-π/2
    0.155437900866223-1.57079632675     		φ = -1.41535843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98165183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.244507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41535843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.094065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43007 KachelY 59393 0.98165183 -1.41535843 56.244507 -81.094065
    Oben rechts KachelX + 1 43008 KachelY 59393 0.98174770 -1.41535843 56.250000 -81.094065
    Unten links KachelX 43007 KachelY + 1 59394 0.98165183 -1.41537327 56.244507 -81.094915
    Unten rechts KachelX + 1 43008 KachelY + 1 59394 0.98174770 -1.41537327 56.250000 -81.094915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41535843--1.41537327) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41535843--1.41537327) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98165183-0.98174770) × cos(-1.41535843) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154812731558494 × 6371000     		do = 94.5577230762188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98165183-0.98174770) × cos(-1.41537327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154798070454958 × 6371000     		du = 94.5487682534847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41535843)-sin(-1.41537327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154812731558494-0.154798070454958)×R²
    abs(0.98174770-0.98165183)×1.46611035354016e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46611035354016e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46611035354016e-05×40589641000000     		ar = 8939.59712552436m²