Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43008 / 14336
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 56.250000°		 ← 202.77 m → N 70.612614°
E 56.255493°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 70.610790°
E 56.250000°		 ← 202.79 m →
41 122 m²		 N 70.610790°
E 56.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656257629394531 y=0.218757629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656257629394531 × 216)
    floor (0.656257629394531 × 65536)
    floor (43008.5)     		tx = 43008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218757629394531 × 216)
    floor (0.218757629394531 × 65536)
    floor (14336.5)     		ty = 14336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43008 / 14336 ti = "16/43008/14336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43008/14336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43008 ÷ 216
    43008 ÷ 65536     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14336 ÷ 216
    14336 ÷ 65536     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43008 KachelY 14336 0.98174770 1.23242261 56.250000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 43009 KachelY 14336 0.98184358 1.23242261 56.255493 70.612614
    Unten links KachelX 43008 KachelY + 1 14337 0.98174770 1.23239078 56.250000 70.610790
    Unten rechts KachelX + 1 43009 KachelY + 1 14337 0.98184358 1.23239078 56.255493 70.610790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.23239078) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dl = 202.788929999713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.23239078) × R
    3.18299999999549e-05 × 6371000     		dr = 202.788929999713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(1.23242261) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 202.774265835344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(1.23239078) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.33198349067079 × 6371000     		du = 202.79260661192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.23239078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.33198349067079)×R²
    abs(0.98184358-0.98174770)×3.00249359735938e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.00249359735938e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.00249359735938e-05×40589641000000     		ar = 41122.236057015m²