Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 43008 / 26623
↖ ↑ ↗
← N 31.956823°
E 56.250000°		 ← 518.28 m → N 31.956823°
E 56.255493°		 →
↑
518.28 m
↓
↑
518.28 m
↓
N 31.952162°
E 56.250000°		 ← 518.30 m →
268 619 m²		 N 31.952162°
E 56.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656257629394531 y=0.406242370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656257629394531 × 216)
    floor (0.656257629394531 × 65536)
    floor (43008.5)     		tx = 43008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406242370605469 × 216)
    floor (0.406242370605469 × 65536)
    floor (26623.5)     		ty = 26623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43008 / 26623 ti = "16/43008/26623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43008/26623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43008 ÷ 216
    43008 ÷ 65536     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26623 ÷ 216
    26623 ÷ 65536     		y = 0.406234741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406234741210938 × 2 - 1) × π
    0.187530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.58914449633049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.58914449633049))-π/2
    2×atan(1.80244575665792)-π/2
    2×1.06427405344256-π/2
    2.12854810688512-1.57079632675     		φ = 0.55775178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55775178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.956823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43008 KachelY 26623 0.98174770 0.55775178 56.250000 31.956823
    Oben rechts KachelX + 1 43009 KachelY 26623 0.98184358 0.55775178 56.255493 31.956823
    Unten links KachelX 43008 KachelY + 1 26624 0.98174770 0.55767043 56.250000 31.952162
    Unten rechts KachelX + 1 43009 KachelY + 1 26624 0.98184358 0.55767043 56.255493 31.952162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55775178-0.55767043) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dl = 518.280849999873m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55775178-0.55767043) × R
    8.134999999998e-05 × 6371000     		dr = 518.280849999873m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(0.55775178) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.84844719221959 × 6371000     		do = 518.275223069441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(0.55767043) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.848490246343458 × 6371000     		du = 518.301522744726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55775178)-sin(0.55767043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84844719221959-0.848490246343458)×R²
    abs(0.98184358-0.98174770)×4.30541238678472e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.30541238678472e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.30541238678472e-05×40589641000000     		ar = 268618.938603486m²