Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43008 / 55296
↖ ↑ ↗
← S 76.840817°
E 56.250000°		 ← 139.06 m → S 76.840817°
E 56.255493°		 →
↑
139.02 m
↓
↑
139.02 m
↓
S 76.842067°
E 56.250000°		 ← 139.05 m →
19 331 m²		 S 76.842067°
E 56.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656257629394531 y=0.843757629394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656257629394531 × 216)
    floor (0.656257629394531 × 65536)
    floor (43008.5)     		tx = 43008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.843757629394531 × 216)
    floor (0.843757629394531 × 65536)
    floor (55296.5)     		ty = 55296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43008 / 55296 ti = "16/43008/55296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43008/55296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43008 ÷ 216
    43008 ÷ 65536     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55296 ÷ 216
    55296 ÷ 65536     		y = 0.84375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.84375 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Φ = -2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.15984494928125))-π/2
    2×atan(0.115343003667291)-π/2
    2×0.114835540228313-π/2
    0.229671080456626-1.57079632675     		φ = -1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43008 KachelY 55296 0.98174770 -1.34112525 56.250000 -76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 43009 KachelY 55296 0.98184358 -1.34112525 56.255493 -76.840817
    Unten links KachelX 43008 KachelY + 1 55297 0.98174770 -1.34114707 56.250000 -76.842067
    Unten rechts KachelX + 1 43009 KachelY + 1 55297 0.98184358 -1.34114707 56.255493 -76.842067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.34112525--1.34114707) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dl = 139.015220001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.34112525--1.34114707) × R
    2.18200000001723e-05 × 6371000     		dr = 139.015220001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(-1.34112525) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 139.064767934718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(-1.34114707) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.227636002647117 × 6371000     		du = 139.051789118345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.34112525)-sin(-1.34114707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227636002647117)×R²
    abs(0.98184358-0.98174770)×2.12470900018968e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.12470900018968e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.12470900018968e-05×40589641000000     		ar = 19331.2171829294m²