Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43008 / 59391
↖ ↑ ↗
← S 81.092363°
E 56.250000°		 ← 94.59 m → S 81.092363°
E 56.255493°		 →
↑
94.55 m
↓
↑
94.55 m
↓
S 81.093214°
E 56.250000°		 ← 94.58 m →
8 942 m²		 S 81.093214°
E 56.255493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656257629394531 y=0.906242370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656257629394531 × 216)
    floor (0.656257629394531 × 65536)
    floor (43008.5)     		tx = 43008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906242370605469 × 216)
    floor (0.906242370605469 × 65536)
    floor (59391.5)     		ty = 59391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43008 / 59391 ti = "16/43008/59391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43008/59391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43008 ÷ 216
    43008 ÷ 65536     		x = 0.65625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59391 ÷ 216
    59391 ÷ 65536     		y = 0.906234741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65625 × 2 - 1) × π
    0.3125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98174770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.812469482421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55244815716951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98174770} λ = 0.98174770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55244815716951))-π/2
    2×atan(0.0778907436100928)-π/2
    2×0.0777337943241786-π/2
    0.155467588648357-1.57079632675     		φ = -1.41532874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98174770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41532874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.092363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43008 KachelY 59391 0.98174770 -1.41532874 56.250000 -81.092363
    Oben rechts KachelX + 1 43009 KachelY 59391 0.98184358 -1.41532874 56.255493 -81.092363
    Unten links KachelX 43008 KachelY + 1 59392 0.98174770 -1.41534358 56.250000 -81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 43009 KachelY + 1 59392 0.98184358 -1.41534358 56.255493 -81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41532874--1.41534358) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dl = 94.545639999748m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41532874--1.41534358) × R
    1.48399999999604e-05 × 6371000     		dr = 94.545639999748m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(-1.41532874) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.154842063542672 × 6371000     		do = 94.5855036813429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98174770-0.98184358) × cos(-1.41534358) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 94.5765479662183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41532874)-sin(-1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154842063542672-0.154827402507351)×R²
    abs(0.98184358-0.98174770)×1.46610353217447e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.46610353217447e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.46610353217447e-05×40589641000000     		ar = 8942.22361881616m²