Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43010 / 10242
↖ ↑ ↗
← N 76.838315°
E 56.260986°		 ← 139.09 m → N 76.838315°
E 56.266480°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
N 76.837064°
E 56.260986°		 ← 139.10 m →
19 345 m²		 N 76.837064°
E 56.266480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656288146972656 y=0.156288146972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656288146972656 × 216)
    floor (0.656288146972656 × 65536)
    floor (43010.5)     		tx = 43010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156288146972656 × 216)
    floor (0.156288146972656 × 65536)
    floor (10242.5)     		ty = 10242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43010 / 10242 ti = "16/43010/10242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43010/10242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43010 ÷ 216
    43010 ÷ 65536     		x = 0.656280517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10242 ÷ 216
    10242 ÷ 65536     		y = 0.156280517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656280517578125 × 2 - 1) × π
    0.31256103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98193945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156280517578125 × 2 - 1) × π
    0.68743896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15965320168277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98193945} λ = 0.98193945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15965320168277))-π/2
    2×atan(8.6681310438896)-π/2
    2×1.45593895816304-π/2
    2.91187791632607-1.57079632675     		φ = 1.34108159
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98193945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.260986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34108159 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.838315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43010 KachelY 10242 0.98193945 1.34108159 56.260986 76.838315
    Oben rechts KachelX + 1 43011 KachelY 10242 0.98203533 1.34108159 56.266480 76.838315
    Unten links KachelX 43010 KachelY + 1 10243 0.98193945 1.34105976 56.260986 76.837064
    Unten rechts KachelX + 1 43011 KachelY + 1 10243 0.98203533 1.34105976 56.266480 76.837064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34108159-1.34105976) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dl = 139.078929999296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34108159-1.34105976) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dr = 139.078929999296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98193945-0.98203533) × cos(1.34108159) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227699763066568 × 6371000     		do = 139.090737264771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98193945-0.98203533) × cos(1.34105976) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227721019568533 × 6371000     		du = 139.103721830456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34108159)-sin(1.34105976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227699763066568-0.227721019568533)×R²
    abs(0.98203533-0.98193945)×2.12565019647726e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.12565019647726e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.12565019647726e-05×40589641000000     		ar = 19345.493851877m²