Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43011 / 10245
↖ ↑ ↗
← N 76.834562°
E 56.266480°		 ← 139.12 m → N 76.834562°
E 56.271973°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
N 76.833311°
E 56.266480°		 ← 139.13 m →
19 358 m²		 N 76.833311°
E 56.271973°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656303405761719 y=0.156333923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656303405761719 × 216)
    floor (0.656303405761719 × 65536)
    floor (43011.5)     		tx = 43011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156333923339844 × 216)
    floor (0.156333923339844 × 65536)
    floor (10245.5)     		ty = 10245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43011 / 10245 ti = "16/43011/10245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43011/10245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43011 ÷ 216
    43011 ÷ 65536     		x = 0.656295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10245 ÷ 216
    10245 ÷ 65536     		y = 0.156326293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656295776367188 × 2 - 1) × π
    0.312591552734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98203533
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156326293945312 × 2 - 1) × π
    0.687347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15936558028505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98203533} λ = 0.98203533}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15936558028505))-π/2
    2×atan(8.66563826242896)-π/2
    2×1.45590620791504-π/2
    2.91181241583007-1.57079632675     		φ = 1.34101609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98203533} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.266480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34101609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.834562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43011 KachelY 10245 0.98203533 1.34101609 56.266480 76.834562
    Oben rechts KachelX + 1 43012 KachelY 10245 0.98213120 1.34101609 56.271973 76.834562
    Unten links KachelX 43011 KachelY + 1 10246 0.98203533 1.34099425 56.266480 76.833311
    Unten rechts KachelX + 1 43012 KachelY + 1 10246 0.98213120 1.34099425 56.271973 76.833311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34101609-1.34099425) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dl = 139.142640000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34101609-1.34099425) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dr = 139.142640000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98203533-0.98213120) × cos(1.34101609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227763541984057 × 6371000     		do = 139.11518589574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98203533-0.98213120) × cos(1.34099425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227784807897496 × 6371000     		du = 139.128174855587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34101609)-sin(1.34099425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227763541984057-0.227784807897496)×R²
    abs(0.98213120-0.98203533)×2.12659134391779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12659134391779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12659134391779e-05×40589641000000     		ar = 19357.7578893698m²