Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43012 / 10244
↖ ↑ ↗
← N 76.835813°
E 56.271973°		 ← 139.10 m → N 76.835813°
E 56.277466°		 →
↑
139.08 m
↓
↑
139.08 m
↓
N 76.834562°
E 56.271973°		 ← 139.12 m →
19 347 m²		 N 76.834562°
E 56.277466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656318664550781 y=0.156318664550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656318664550781 × 216)
    floor (0.656318664550781 × 65536)
    floor (43012.5)     		tx = 43012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156318664550781 × 216)
    floor (0.156318664550781 × 65536)
    floor (10244.5)     		ty = 10244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43012 / 10244 ti = "16/43012/10244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43012/10244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43012 ÷ 216
    43012 ÷ 65536     		x = 0.65631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10244 ÷ 216
    10244 ÷ 65536     		y = 0.15631103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65631103515625 × 2 - 1) × π
    0.3126220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98213120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15631103515625 × 2 - 1) × π
    0.6873779296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15946145408429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98213120} λ = 0.98213120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15946145408429))-π/2
    2×atan(8.66646910991964)-π/2
    2×1.45591712568351-π/2
    2.91183425136703-1.57079632675     		φ = 1.34103792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98213120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.271973°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34103792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.835813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43012 KachelY 10244 0.98213120 1.34103792 56.271973 76.835813
    Oben rechts KachelX + 1 43013 KachelY 10244 0.98222707 1.34103792 56.277466 76.835813
    Unten links KachelX 43012 KachelY + 1 10245 0.98213120 1.34101609 56.271973 76.834562
    Unten rechts KachelX + 1 43013 KachelY + 1 10245 0.98222707 1.34101609 56.277466 76.834562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34103792-1.34101609) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dl = 139.078929999296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34103792-1.34101609) × R
    2.18299999998894e-05 × 6371000     		dr = 139.078929999296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98213120-0.98222707) × cos(1.34103792) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227742285699192 × 6371000     		do = 139.10220281691m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98213120-0.98222707) × cos(1.34101609) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227763541984057 × 6371000     		du = 139.11518589574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34103792)-sin(1.34101609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227742285699192-0.227763541984057)×R²
    abs(0.98222707-0.98213120)×2.12562848645181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12562848645181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12562848645181e-05×40589641000000     		ar = 19347.0883655796m²