Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43014 / 10246
↖ ↑ ↗
← N 76.833311°
E 56.282959°		 ← 139.13 m → N 76.833311°
E 56.288452°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
N 76.832060°
E 56.282959°		 ← 139.14 m →
19 360 m²		 N 76.832060°
E 56.288452°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656349182128906 y=0.156349182128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656349182128906 × 216)
    floor (0.656349182128906 × 65536)
    floor (43014.5)     		tx = 43014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156349182128906 × 216)
    floor (0.156349182128906 × 65536)
    floor (10246.5)     		ty = 10246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43014 / 10246 ti = "16/43014/10246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43014/10246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43014 ÷ 216
    43014 ÷ 65536     		x = 0.656341552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10246 ÷ 216
    10246 ÷ 65536     		y = 0.156341552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656341552734375 × 2 - 1) × π
    0.31268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98232295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156341552734375 × 2 - 1) × π
    0.68731689453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15926970648581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98232295} λ = 0.98232295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15926970648581))-π/2
    2×atan(8.66480749459097)-π/2
    2×1.4558952891273-π/2
    2.91179057825459-1.57079632675     		φ = 1.34099425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98232295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.282959°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34099425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.833311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43014 KachelY 10246 0.98232295 1.34099425 56.282959 76.833311
    Oben rechts KachelX + 1 43015 KachelY 10246 0.98241882 1.34099425 56.288452 76.833311
    Unten links KachelX 43014 KachelY + 1 10247 0.98232295 1.34097241 56.282959 76.832060
    Unten rechts KachelX + 1 43015 KachelY + 1 10247 0.98241882 1.34097241 56.288452 76.832060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34099425-1.34097241) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dl = 139.142640000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34099425-1.34097241) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dr = 139.142640000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98232295-0.98241882) × cos(1.34099425) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227784807897496 × 6371000     		do = 139.128174855587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98232295-0.98241882) × cos(1.34097241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227806073702285 × 6371000     		du = 139.141163749071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34099425)-sin(1.34097241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227784807897496-0.227806073702285)×R²
    abs(0.98241882-0.98232295)×2.12658047891445e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12658047891445e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12658047891445e-05×40589641000000     		ar = 19359.5652029448m²