Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43016 / 10248
↖ ↑ ↗
← N 76.830808°
E 56.293945°		 ← 139.17 m → N 76.830808°
E 56.299439°		 →
↑
139.14 m
↓
↑
139.14 m
↓
N 76.829557°
E 56.293945°		 ← 139.18 m →
19 365 m²		 N 76.829557°
E 56.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656379699707031 y=0.156379699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656379699707031 × 216)
    floor (0.656379699707031 × 65536)
    floor (43016.5)     		tx = 43016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156379699707031 × 216)
    floor (0.156379699707031 × 65536)
    floor (10248.5)     		ty = 10248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43016 / 10248 ti = "16/43016/10248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43016/10248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43016 ÷ 216
    43016 ÷ 65536     		x = 0.6563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10248 ÷ 216
    10248 ÷ 65536     		y = 0.1563720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1563720703125 × 2 - 1) × π
    0.687255859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15907795888733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98251469} λ = 0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15907795888733))-π/2
    2×atan(8.66314619784251)-π/2
    2×1.45587344849366-π/2
    2.91174689698732-1.57079632675     		φ = 1.34095057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34095057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.830808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43016 KachelY 10248 0.98251469 1.34095057 56.293945 76.830808
    Oben rechts KachelX + 1 43017 KachelY 10248 0.98261057 1.34095057 56.299439 76.830808
    Unten links KachelX 43016 KachelY + 1 10249 0.98251469 1.34092873 56.293945 76.829557
    Unten rechts KachelX + 1 43017 KachelY + 1 10249 0.98261057 1.34092873 56.299439 76.829557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34095057-1.34092873) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dl = 139.142640000323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34095057-1.34092873) × R
    2.18400000000507e-05 × 6371000     		dr = 139.142640000323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98251469-0.98261057) × cos(1.34095057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227827339398414 × 6371000     		do = 139.168667455892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98251469-0.98261057) × cos(1.34092873) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.227848604985873 × 6371000     		du = 139.181657571464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34095057)-sin(1.34092873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227827339398414-0.227848604985873)×R²
    abs(0.98261057-0.98251469)×2.12655874585466e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.12655874585466e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.12655874585466e-05×40589641000000     		ar = 19365.1995353841m²