Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43016 / 14344
↖ ↑ ↗
← N 70.598021°
E 56.293945°		 ← 202.92 m → N 70.598021°
E 56.299439°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 70.596196°
E 56.293945°		 ← 202.94 m →
41 178 m²		 N 70.596196°
E 56.299439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656379699707031 y=0.218879699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656379699707031 × 216)
    floor (0.656379699707031 × 65536)
    floor (43016.5)     		tx = 43016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218879699707031 × 216)
    floor (0.218879699707031 × 65536)
    floor (14344.5)     		ty = 14344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43016 / 14344 ti = "16/43016/14344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43016/14344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43016 ÷ 216
    43016 ÷ 65536     		x = 0.6563720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14344 ÷ 216
    14344 ÷ 65536     		y = 0.2188720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6563720703125 × 2 - 1) × π
    0.312744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98251469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2188720703125 × 2 - 1) × π
    0.562255859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76637887719983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98251469} λ = 0.98251469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76637887719983))-π/2
    2×atan(5.8496327248726)-π/2
    2×1.4014821207157-π/2
    2.80296424143139-1.57079632675     		φ = 1.23216791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98251469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23216791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.598021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43016 KachelY 14344 0.98251469 1.23216791 56.293945 70.598021
    Oben rechts KachelX + 1 43017 KachelY 14344 0.98261057 1.23216791 56.299439 70.598021
    Unten links KachelX 43016 KachelY + 1 14345 0.98251469 1.23213606 56.293945 70.596196
    Unten rechts KachelX + 1 43017 KachelY + 1 14345 0.98261057 1.23213606 56.299439 70.596196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23216791-1.23213606) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23216791-1.23213606) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98251469-0.98261057) × cos(1.23216791) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		do = 202.921020863542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98251469-0.98261057) × cos(1.23213606) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33222375350352 × 6371000     		du = 202.939371518647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23216791)-sin(1.23213606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33219371239581-0.33222375350352)×R²
    abs(0.98261057-0.98251469)×3.00411077099882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00411077099882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00411077099882e-05×40589641000000     		ar = 41177.8547196877m²