Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43017 / 10249
↖ ↑ ↗
← N 76.829557°
E 56.299439°		 ← 139.17 m → N 76.829557°
E 56.304932°		 →
↑
139.21 m
↓
↑
139.21 m
↓
N 76.828305°
E 56.299439°		 ← 139.18 m →
19 374 m²		 N 76.828305°
E 56.304932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656394958496094 y=0.156394958496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656394958496094 × 216)
    floor (0.656394958496094 × 65536)
    floor (43017.5)     		tx = 43017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156394958496094 × 216)
    floor (0.156394958496094 × 65536)
    floor (10249.5)     		ty = 10249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43017 / 10249 ti = "16/43017/10249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43017/10249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43017 ÷ 216
    43017 ÷ 65536     		x = 0.656387329101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10249 ÷ 216
    10249 ÷ 65536     		y = 0.156387329101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656387329101562 × 2 - 1) × π
    0.312774658203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98261057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156387329101562 × 2 - 1) × π
    0.687225341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15898208508809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98261057} λ = 0.98261057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15898208508809))-π/2
    2×atan(8.66231566891677)-π/2
    2×1.45586252664759-π/2
    2.91172505329518-1.57079632675     		φ = 1.34092873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98261057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.299439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34092873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.829557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43017 KachelY 10249 0.98261057 1.34092873 56.299439 76.829557
    Oben rechts KachelX + 1 43018 KachelY 10249 0.98270644 1.34092873 56.304932 76.829557
    Unten links KachelX 43017 KachelY + 1 10250 0.98261057 1.34090688 56.299439 76.828305
    Unten rechts KachelX + 1 43018 KachelY + 1 10250 0.98270644 1.34090688 56.304932 76.828305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34092873-1.34090688) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dl = 139.206349999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34092873-1.34090688) × R
    2.18499999999899e-05 × 6371000     		dr = 139.206349999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98261057-0.98270644) × cos(1.34092873) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227848604985873 × 6371000     		do = 139.167141336929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98261057-0.98270644) × cos(1.34090688) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227869880201567 × 6371000     		du = 139.180135978479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34092873)-sin(1.34090688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227848604985873-0.227869880201567)×R²
    abs(0.98270644-0.98261057)×2.12752156939222e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12752156939222e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12752156939222e-05×40589641000000     		ar = 19373.8542547686m²