Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 43024 / 10256
↖ ↑ ↗
← N 76.820792°
E 56.337891°		 ← 139.26 m → N 76.820792°
E 56.343384°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 76.819540°
E 56.337891°		 ← 139.27 m →
19 395 m²		 N 76.819540°
E 56.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656501770019531 y=0.156501770019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656501770019531 × 216)
    floor (0.656501770019531 × 65536)
    floor (43024.5)     		tx = 43024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156501770019531 × 216)
    floor (0.156501770019531 × 65536)
    floor (10256.5)     		ty = 10256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43024 / 10256 ti = "16/43024/10256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43024/10256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43024 ÷ 216
    43024 ÷ 65536     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10256 ÷ 216
    10256 ÷ 65536     		y = 0.156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156494140625 × 2 - 1) × π
    0.68701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15831096849341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15831096849341))-π/2
    2×atan(8.65650419542927)-π/2
    2×1.45578604517058-π/2
    2.91157209034116-1.57079632675     		φ = 1.34077576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34077576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.820792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43024 KachelY 10256 0.98328169 1.34077576 56.337891 76.820792
    Oben rechts KachelX + 1 43025 KachelY 10256 0.98337756 1.34077576 56.343384 76.820792
    Unten links KachelX 43024 KachelY + 1 10257 0.98328169 1.34075390 56.337891 76.819540
    Unten rechts KachelX + 1 43025 KachelY + 1 10257 0.98337756 1.34075390 56.343384 76.819540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34077576-1.34075390) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dl = 139.270060000963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34077576-1.34075390) × R
    2.18600000001512e-05 × 6371000     		dr = 139.270060000963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98337756) × cos(1.34077576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227997548684014 × 6371000     		do = 139.258114326172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98337756) × cos(1.34075390) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228018832874431 × 6371000     		du = 139.271114449373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34077576)-sin(1.34075390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227997548684014-0.228018832874431)×R²
    abs(0.98337756-0.98328169)×2.12841904169148e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12841904169148e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12841904169148e-05×40589641000000     		ar = 19395.3912027406m²