Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 43024 / 6160
↖ ↑ ↗
← N 81.079596°
E 56.337891°		 ← 94.71 m → N 81.079596°
E 56.343384°		 →
↑
94.74 m
↓
↑
94.74 m
↓
N 81.078744°
E 56.337891°		 ← 94.72 m →
8 973 m²		 N 81.078744°
E 56.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656501770019531 y=0.0940017700195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656501770019531 × 216)
    floor (0.656501770019531 × 65536)
    floor (43024.5)     		tx = 43024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0940017700195312 × 216)
    floor (0.0940017700195312 × 65536)
    floor (6160.5)     		ty = 6160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43024 / 6160 ti = "16/43024/6160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43024/6160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43024 ÷ 216
    43024 ÷ 65536     		x = 0.656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6160 ÷ 216
    6160 ÷ 65536     		y = 0.093994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656494140625 × 2 - 1) × π
    0.31298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98328169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093994140625 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55101005018091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98328169} λ = 0.98328169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55101005018091))-π/2
    2×atan(12.8200461352681)-π/2
    2×1.49295111361235-π/2
    2.9859022272247-1.57079632675     		φ = 1.41510590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98328169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41510590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.079596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43024 KachelY 6160 0.98328169 1.41510590 56.337891 81.079596
    Oben rechts KachelX + 1 43025 KachelY 6160 0.98337756 1.41510590 56.343384 81.079596
    Unten links KachelX 43024 KachelY + 1 6161 0.98328169 1.41509103 56.337891 81.078744
    Unten rechts KachelX + 1 43025 KachelY + 1 6161 0.98337756 1.41509103 56.343384 81.078744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41510590-1.41509103) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dl = 94.736770000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41510590-1.41509103) × R
    1.48700000000002e-05 × 6371000     		dr = 94.736770000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98328169-0.98337756) × cos(1.41510590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155062212075803 × 6371000     		do = 94.7101027250447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98328169-0.98337756) × cos(1.41509103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155076902201654 × 6371000     		du = 94.7190752742543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41510590)-sin(1.41509103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155062212075803-0.155076902201654)×R²
    abs(0.98337756-0.98328169)×1.46901258511467e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46901258511467e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46901258511467e-05×40589641000000     		ar = 8972.95423350538m²