Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43025 / 10255
↖ ↑ ↗
← N 76.822045°
E 56.343384°		 ← 139.25 m → N 76.822045°
E 56.348877°		 →
↑
139.27 m
↓
↑
139.27 m
↓
N 76.820792°
E 56.343384°		 ← 139.26 m →
19 394 m²		 N 76.820792°
E 56.348877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656517028808594 y=0.156486511230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656517028808594 × 216)
    floor (0.656517028808594 × 65536)
    floor (43025.5)     		tx = 43025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156486511230469 × 216)
    floor (0.156486511230469 × 65536)
    floor (10255.5)     		ty = 10255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43025 / 10255 ti = "16/43025/10255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43025/10255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43025 ÷ 216
    43025 ÷ 65536     		x = 0.656509399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10255 ÷ 216
    10255 ÷ 65536     		y = 0.156478881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656509399414062 × 2 - 1) × π
    0.313018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98337756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156478881835938 × 2 - 1) × π
    0.687042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15840684229265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98337756} λ = 0.98337756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15840684229265))-π/2
    2×atan(8.65733416716026)-π/2
    2×1.45579697415591-π/2
    2.91159394831182-1.57079632675     		φ = 1.34079762
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98337756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.343384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34079762 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.822045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43025 KachelY 10255 0.98337756 1.34079762 56.343384 76.822045
    Oben rechts KachelX + 1 43026 KachelY 10255 0.98347343 1.34079762 56.348877 76.822045
    Unten links KachelX 43025 KachelY + 1 10256 0.98337756 1.34077576 56.343384 76.820792
    Unten rechts KachelX + 1 43026 KachelY + 1 10256 0.98347343 1.34077576 56.348877 76.820792
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34079762-1.34077576) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dl = 139.270059999549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34079762-1.34077576) × R
    2.18599999999292e-05 × 6371000     		dr = 139.270059999549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98337756-0.98347343) × cos(1.34079762) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227976264384647 × 6371000     		do = 139.245114136426m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98337756-0.98347343) × cos(1.34077576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227997548684014 × 6371000     		du = 139.258114326172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34079762)-sin(1.34077576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227976264384647-0.227997548684014)×R²
    abs(0.98347343-0.98337756)×2.12842993675133e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.12842993675133e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.12842993675133e-05×40589641000000     		ar = 19393.5806697205m²