Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43039 / 10273
↖ ↑ ↗
← N 76.799485°
E 56.420288°		 ← 139.49 m → N 76.799485°
E 56.425781°		 →
↑
139.52 m
↓
↑
139.52 m
↓
N 76.798230°
E 56.420288°		 ← 139.51 m →
19 464 m²		 N 76.798230°
E 56.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656730651855469 y=0.156761169433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656730651855469 × 216)
    floor (0.656730651855469 × 65536)
    floor (43039.5)     		tx = 43039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156761169433594 × 216)
    floor (0.156761169433594 × 65536)
    floor (10273.5)     		ty = 10273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43039 / 10273 ti = "16/43039/10273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43039/10273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43039 ÷ 216
    43039 ÷ 65536     		x = 0.656723022460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10273 ÷ 216
    10273 ÷ 65536     		y = 0.156753540039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656723022460938 × 2 - 1) × π
    0.313446044921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.98471979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156753540039062 × 2 - 1) × π
    0.686492919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15668111390633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98471979} λ = 0.98471979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15668111390633))-π/2
    2×atan(8.64240684379558)-π/2
    2×1.45560009624773-π/2
    2.91120019249547-1.57079632675     		φ = 1.34040387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98471979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.420288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34040387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.799485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43039 KachelY 10273 0.98471979 1.34040387 56.420288 76.799485
    Oben rechts KachelX + 1 43040 KachelY 10273 0.98481567 1.34040387 56.425781 76.799485
    Unten links KachelX 43039 KachelY + 1 10274 0.98471979 1.34038197 56.420288 76.798230
    Unten rechts KachelX + 1 43040 KachelY + 1 10274 0.98481567 1.34038197 56.425781 76.798230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34040387-1.34038197) × R
    2.19000000001301e-05 × 6371000     		dl = 139.524900000829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34040387-1.34038197) × R
    2.19000000001301e-05 × 6371000     		dr = 139.524900000829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98471979-0.98481567) × cos(1.34040387) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.228359627961246 × 6371000     		do = 139.493816712447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98471979-0.98481567) × cos(1.34038197) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.228380949239469 × 6371000     		du = 139.506840846805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34040387)-sin(1.34038197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228359627961246-0.228380949239469)×R²
    abs(0.98481567-0.98471979)×2.1321278223102e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1321278223102e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1321278223102e-05×40589641000000     		ar = 19463.7694238231m²