Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43040 / 10272
↖ ↑ ↗
← N 76.800739°
E 56.425781°		 ← 139.47 m → N 76.800739°
E 56.431274°		 →
↑
139.46 m
↓
↑
139.46 m
↓
N 76.799485°
E 56.425781°		 ← 139.48 m →
19 451 m²		 N 76.799485°
E 56.431274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656745910644531 y=0.156745910644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656745910644531 × 216)
    floor (0.656745910644531 × 65536)
    floor (43040.5)     		tx = 43040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156745910644531 × 216)
    floor (0.156745910644531 × 65536)
    floor (10272.5)     		ty = 10272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43040 / 10272 ti = "16/43040/10272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43040/10272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43040 ÷ 216
    43040 ÷ 65536     		x = 0.65673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10272 ÷ 216
    10272 ÷ 65536     		y = 0.15673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.65673828125 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.98481567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15673828125 × 2 - 1) × π
    0.6865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15677698770557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98481567} λ = 0.98481567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15677698770557))-π/2
    2×atan(8.64323546389512)-π/2
    2×1.45561104258962-π/2
    2.91122208517924-1.57079632675     		φ = 1.34042576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98481567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34042576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.800739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43040 KachelY 10272 0.98481567 1.34042576 56.425781 76.800739
    Oben rechts KachelX + 1 43041 KachelY 10272 0.98491154 1.34042576 56.431274 76.800739
    Unten links KachelX 43040 KachelY + 1 10273 0.98481567 1.34040387 56.425781 76.799485
    Unten rechts KachelX + 1 43041 KachelY + 1 10273 0.98491154 1.34040387 56.431274 76.799485
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34042576-1.34040387) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dl = 139.461189999802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34042576-1.34040387) × R
    2.18899999999689e-05 × 6371000     		dr = 139.461189999802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98481567-0.98491154) × cos(1.34042576) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228338316309318 × 6371000     		do = 139.46625102412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98481567-0.98491154) × cos(1.34040387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.228359627961246 × 6371000     		du = 139.479267920476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34042576)-sin(1.34040387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228338316309318-0.228359627961246)×R²
    abs(0.98491154-0.98481567)×2.13116519280077e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13116519280077e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13116519280077e-05×40589641000000     		ar = 19451.0370094756m²