Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43056 / 10224
↖ ↑ ↗
← N 76.860811°
E 56.513672°		 ← 138.84 m → N 76.860811°
E 56.519165°		 →
↑
138.89 m
↓
↑
138.89 m
↓
N 76.859562°
E 56.513672°		 ← 138.86 m →
19 284 m²		 N 76.859562°
E 56.519165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.656990051269531 y=0.156013488769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.656990051269531 × 216)
    floor (0.656990051269531 × 65536)
    floor (43056.5)     		tx = 43056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156013488769531 × 216)
    floor (0.156013488769531 × 65536)
    floor (10224.5)     		ty = 10224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43056 / 10224 ti = "16/43056/10224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43056/10224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43056 ÷ 216
    43056 ÷ 65536     		x = 0.656982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10224 ÷ 216
    10224 ÷ 65536     		y = 0.156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.656982421875 × 2 - 1) × π
    0.31396484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.98634965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156005859375 × 2 - 1) × π
    0.68798828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16137893006909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98634965} λ = 0.98634965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16137893006909))-π/2
    2×atan(8.68310279856375)-π/2
    2×1.45613526714612-π/2
    2.91227053429225-1.57079632675     		φ = 1.34147421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98634965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.513672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34147421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.860811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43056 KachelY 10224 0.98634965 1.34147421 56.513672 76.860811
    Oben rechts KachelX + 1 43057 KachelY 10224 0.98644552 1.34147421 56.519165 76.860811
    Unten links KachelX 43056 KachelY + 1 10225 0.98634965 1.34145241 56.513672 76.859562
    Unten rechts KachelX + 1 43057 KachelY + 1 10225 0.98644552 1.34145241 56.519165 76.859562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34147421-1.34145241) × R
    2.17999999998497e-05 × 6371000     		dl = 138.887799999043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34147421-1.34145241) × R
    2.17999999998497e-05 × 6371000     		dr = 138.887799999043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98634965-0.98644552) × cos(1.34147421) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.227317439108434 × 6371000     		do = 138.842711715148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98634965-0.98644552) × cos(1.34145241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.22733866834597 × 6371000     		du = 138.855678273802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34147421)-sin(1.34145241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227317439108434-0.22733866834597)×R²
    abs(0.98644552-0.98634965)×2.1229237535475e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1229237535475e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1229237535475e-05×40589641000000     		ar = 19284.4592253004m²