Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43072 / 10304
↖ ↑ ↗
← N 76.760541°
E 56.601563°		 ← 139.88 m → N 76.760541°
E 56.607056°		 →
↑
139.91 m
↓
↑
139.91 m
↓
N 76.759283°
E 56.601563°		 ← 139.90 m →
19 572 m²		 N 76.759283°
E 56.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657234191894531 y=0.157234191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657234191894531 × 216)
    floor (0.657234191894531 × 65536)
    floor (43072.5)     		tx = 43072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157234191894531 × 216)
    floor (0.157234191894531 × 65536)
    floor (10304.5)     		ty = 10304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43072 / 10304 ti = "16/43072/10304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43072/10304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43072 ÷ 216
    43072 ÷ 65536     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10304 ÷ 216
    10304 ÷ 65536     		y = 0.1572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1572265625 × 2 - 1) × π
    0.685546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15370902612988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15370902612988))-π/2
    2×atan(8.61675898477983)-π/2
    2×1.45526025239671-π/2
    2.91052050479342-1.57079632675     		φ = 1.33972418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33972418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.760541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43072 KachelY 10304 0.98788363 1.33972418 56.601563 76.760541
    Oben rechts KachelX + 1 43073 KachelY 10304 0.98797950 1.33972418 56.607056 76.760541
    Unten links KachelX 43072 KachelY + 1 10305 0.98788363 1.33970222 56.601563 76.759283
    Unten rechts KachelX + 1 43073 KachelY + 1 10305 0.98797950 1.33970222 56.607056 76.759283
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33972418-1.33970222) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dl = 139.907159999921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33972418-1.33970222) × R
    2.19599999999875e-05 × 6371000     		dr = 139.907159999921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98797950) × cos(1.33972418) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229021305609969 × 6371000     		do = 139.883412535999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98797950) × cos(1.33970222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.229042681888911 × 6371000     		du = 139.896468905744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33972418)-sin(1.33970222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229021305609969-0.229042681888911)×R²
    abs(0.98797950-0.98788363)×2.13762789415262e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13762789415262e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13762789415262e-05×40589641000000     		ar = 19571.6043197227m²