Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43072 / 59456
↖ ↑ ↗
← S 81.147481°
E 56.601563°		 ← 94 m → S 81.147481°
E 56.607056°		 →
↑
93.97 m
↓
↑
93.97 m
↓
S 81.148326°
E 56.601563°		 ← 93.99 m →
8 833 m²		 S 81.148326°
E 56.607056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.657234191894531 y=0.907234191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.657234191894531 × 216)
    floor (0.657234191894531 × 65536)
    floor (43072.5)     		tx = 43072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907234191894531 × 216)
    floor (0.907234191894531 × 65536)
    floor (59456.5)     		ty = 59456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43072 / 59456 ti = "16/43072/59456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43072/59456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43072 ÷ 216
    43072 ÷ 65536     		x = 0.6572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59456 ÷ 216
    59456 ÷ 65536     		y = 0.9072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6572265625 × 2 - 1) × π
    0.314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.98788363
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9072265625 × 2 - 1) × π
    -0.814453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.55867995412012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.98788363} λ = 0.98788363}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55867995412012))-π/2
    2×atan(0.0774068536296349)-π/2
    2×0.0772528044026952-π/2
    0.15450560880539-1.57079632675     		φ = -1.41629072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.98788363} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.601563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41629072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.147481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43072 KachelY 59456 0.98788363 -1.41629072 56.601563 -81.147481
    Oben rechts KachelX + 1 43073 KachelY 59456 0.98797950 -1.41629072 56.607056 -81.147481
    Unten links KachelX 43072 KachelY + 1 59457 0.98788363 -1.41630547 56.601563 -81.148326
    Unten rechts KachelX + 1 43073 KachelY + 1 59457 0.98797950 -1.41630547 56.607056 -81.148326
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41629072--1.41630547) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dl = 93.9722500004034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41629072--1.41630547) × R
    1.47500000000633e-05 × 6371000     		dr = 93.9722500004034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.98788363-0.98797950) × cos(-1.41629072) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.153891614256514 × 6371000     		do = 93.9951158934343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.98788363-0.98797950) × cos(-1.41630547) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15387703994569 × 6371000     		du = 93.9862140826269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41629072)-sin(-1.41630547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153891614256514-0.15387703994569)×R²
    abs(0.98797950-0.98788363)×1.45743108238838e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.45743108238838e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.45743108238838e-05×40589641000000     		ar = 8832.51426808341m²