Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43136 / 10368
↖ ↑ ↗
← N 76.679785°
E 56.953125°		 ← 140.72 m → N 76.679785°
E 56.958618°		 →
↑
140.74 m
↓
↑
140.74 m
↓
N 76.678519°
E 56.953125°		 ← 140.73 m →
19 805 m²		 N 76.678519°
E 56.958618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658210754394531 y=0.158210754394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658210754394531 × 216)
    floor (0.658210754394531 × 65536)
    floor (43136.5)     		tx = 43136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158210754394531 × 216)
    floor (0.158210754394531 × 65536)
    floor (10368.5)     		ty = 10368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43136 / 10368 ti = "16/43136/10368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43136/10368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43136 ÷ 216
    43136 ÷ 65536     		x = 0.658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10368 ÷ 216
    10368 ÷ 65536     		y = 0.158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658203125 × 2 - 1) × π
    0.31640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.99401955
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158203125 × 2 - 1) × π
    0.68359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99401955} λ = 0.99401955}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14757310297852))-π/2
    2×atan(8.56404909113894)-π/2
    2×1.45455552153051-π/2
    2.90911104306101-1.57079632675     		φ = 1.33831472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99401955} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.953125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33831472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.679785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43136 KachelY 10368 0.99401955 1.33831472 56.953125 76.679785
    Oben rechts KachelX + 1 43137 KachelY 10368 0.99411542 1.33831472 56.958618 76.679785
    Unten links KachelX 43136 KachelY + 1 10369 0.99401955 1.33829263 56.953125 76.678519
    Unten rechts KachelX + 1 43137 KachelY + 1 10369 0.99411542 1.33829263 56.958618 76.678519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33831472-1.33829263) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dl = 140.735390000546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33831472-1.33829263) × R
    2.20900000000857e-05 × 6371000     		dr = 140.735390000546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99401955-0.99411542) × cos(1.33831472) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230393076212091 × 6371000     		do = 140.72127324302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99401955-0.99411542) × cos(1.33829263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.230414571882897 × 6371000     		du = 140.734402535856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33831472)-sin(1.33829263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230393076212091-0.230414571882897)×R²
    abs(0.99411542-0.99401955)×2.14956708064762e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.14956708064762e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.14956708064762e-05×40589641000000     		ar = 19805.3871500028m²