Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43137 / 10369
↖ ↑ ↗
← N 76.678519°
E 56.958618°		 ← 140.75 m → N 76.678519°
E 56.964111°		 →
↑
140.80 m
↓
↑
140.80 m
↓
N 76.677253°
E 56.958618°		 ← 140.76 m →
19 818 m²		 N 76.677253°
E 56.964111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.658226013183594 y=0.158226013183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.658226013183594 × 216)
    floor (0.658226013183594 × 65536)
    floor (43137.5)     		tx = 43137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158226013183594 × 216)
    floor (0.158226013183594 × 65536)
    floor (10369.5)     		ty = 10369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43137 / 10369 ti = "16/43137/10369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43137/10369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43137 ÷ 216
    43137 ÷ 65536     		x = 0.658218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10369 ÷ 216
    10369 ÷ 65536     		y = 0.158218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.658218383789062 × 2 - 1) × π
    0.316436767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.99411542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158218383789062 × 2 - 1) × π
    0.683563232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.14747722917928
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.99411542} λ = 0.99411542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14747722917928))-π/2
    2×atan(8.56322806257389)-π/2
    2×1.45454447668536-π/2
    2.90908895337072-1.57079632675     		φ = 1.33829263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.99411542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 56.958618°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33829263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.678519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43137 KachelY 10369 0.99411542 1.33829263 56.958618 76.678519
    Oben rechts KachelX + 1 43138 KachelY 10369 0.99421130 1.33829263 56.964111 76.678519
    Unten links KachelX 43137 KachelY + 1 10370 0.99411542 1.33827053 56.958618 76.677253
    Unten rechts KachelX + 1 43138 KachelY + 1 10370 0.99421130 1.33827053 56.964111 76.677253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33829263-1.33827053) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dl = 140.799100000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33829263-1.33827053) × R
    2.21000000000249e-05 × 6371000     		dr = 140.799100000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.99411542-0.99421130) × cos(1.33829263) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.230414571882897 × 6371000     		do = 140.749082248305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.99411542-0.99421130) × cos(1.33827053) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.230436077172143 × 6371000     		du = 140.762218786069m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33829263)-sin(1.33827053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230414571882897-0.230436077172143)×R²
    abs(0.99421130-0.99411542)×2.1505289246132e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.1505289246132e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.1505289246132e-05×40589641000000     		ar = 19818.268913596m²