Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43264 / 10496
↖ ↑ ↗
← N 76.516819°
E 57.656250°		 ← 142.41 m → N 76.516819°
E 57.661743°		 →
↑
142.39 m
↓
↑
142.39 m
↓
N 76.515538°
E 57.656250°		 ← 142.42 m →
20 279 m²		 N 76.515538°
E 57.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660163879394531 y=0.160163879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660163879394531 × 216)
    floor (0.660163879394531 × 65536)
    floor (43264.5)     		tx = 43264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160163879394531 × 216)
    floor (0.160163879394531 × 65536)
    floor (10496.5)     		ty = 10496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43264 / 10496 ti = "16/43264/10496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43264/10496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43264 ÷ 216
    43264 ÷ 65536     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10496 ÷ 216
    10496 ÷ 65536     		y = 0.16015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16015625 × 2 - 1) × π
    0.6796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13530125667578
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13530125667578))-π/2
    2×atan(8.45959463237978)-π/2
    2×1.45313337466975-π/2
    2.90626674933949-1.57079632675     		φ = 1.33547042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33547042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43264 KachelY 10496 1.00629140 1.33547042 57.656250 76.516819
    Oben rechts KachelX + 1 43265 KachelY 10496 1.00638727 1.33547042 57.661743 76.516819
    Unten links KachelX 43264 KachelY + 1 10497 1.00629140 1.33544807 57.656250 76.515538
    Unten rechts KachelX + 1 43265 KachelY + 1 10497 1.00638727 1.33544807 57.661743 76.515538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33547042-1.33544807) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dl = 142.391850000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33547042-1.33544807) × R
    2.23500000000598e-05 × 6371000     		dr = 142.391850000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00638727) × cos(1.33547042) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233159922173044 × 6371000     		do = 142.411228917444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00638727) × cos(1.33544807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23318165611315 × 6371000     		du = 142.424503742255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33547042)-sin(1.33544807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233159922173044-0.23318165611315)×R²
    abs(1.00638727-1.00629140)×2.17339401061833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17339401061833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17339401061833e-05×40589641000000     		ar = 20279.1434607516m²