Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43264 / 14592
↖ ↑ ↗
← N 70.140365°
E 57.656250°		 ← 207.50 m → N 70.140365°
E 57.661743°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
N 70.138498°
E 57.656250°		 ← 207.51 m →
43 071 m²		 N 70.138498°
E 57.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660163879394531 y=0.222663879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660163879394531 × 216)
    floor (0.660163879394531 × 65536)
    floor (43264.5)     		tx = 43264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222663879394531 × 216)
    floor (0.222663879394531 × 65536)
    floor (14592.5)     		ty = 14592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43264 / 14592 ti = "16/43264/14592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43264/14592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43264 ÷ 216
    43264 ÷ 65536     		x = 0.66015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14592 ÷ 216
    14592 ÷ 65536     		y = 0.22265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.66015625 × 2 - 1) × π
    0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22265625 × 2 - 1) × π
    0.5546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.74260217498828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00629140} λ = 1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74260217498828))-π/2
    2×atan(5.71218821322089)-π/2
    2×1.39748831093691-π/2
    2.79497662187382-1.57079632675     		φ = 1.22418030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22418030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.140365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43264 KachelY 14592 1.00629140 1.22418030 57.656250 70.140365
    Oben rechts KachelX + 1 43265 KachelY 14592 1.00638727 1.22418030 57.661743 70.140365
    Unten links KachelX 43264 KachelY + 1 14593 1.00629140 1.22414772 57.656250 70.138498
    Unten rechts KachelX + 1 43265 KachelY + 1 14593 1.00638727 1.22414772 57.661743 70.138498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22418030-1.22414772) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dl = 207.567180000381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22418030-1.22414772) × R
    3.25800000000598e-05 × 6371000     		dr = 207.567180000381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00629140-1.00638727) × cos(1.22418030) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339717038125863 × 6371000     		do = 207.495012147897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00629140-1.00638727) × cos(1.22414772) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.339747680337672 × 6371000     		du = 207.513728036115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22418030)-sin(1.22414772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339717038125863-0.339747680337672)×R²
    abs(1.00638727-1.00629140)×3.06422118088734e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06422118088734e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06422118088734e-05×40589641000000     		ar = 43071.0969415823m²