Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43265 / 10497
↖ ↑ ↗
← N 76.515538°
E 57.661743°		 ← 142.42 m → N 76.515538°
E 57.667236°		 →
↑
142.46 m
↓
↑
142.46 m
↓
N 76.514257°
E 57.661743°		 ← 142.44 m →
20 290 m²		 N 76.514257°
E 57.667236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660179138183594 y=0.160179138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660179138183594 × 216)
    floor (0.660179138183594 × 65536)
    floor (43265.5)     		tx = 43265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160179138183594 × 216)
    floor (0.160179138183594 × 65536)
    floor (10497.5)     		ty = 10497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43265 / 10497 ti = "16/43265/10497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43265/10497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43265 ÷ 216
    43265 ÷ 65536     		x = 0.660171508789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10497 ÷ 216
    10497 ÷ 65536     		y = 0.160171508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.660171508789062 × 2 - 1) × π
    0.320343017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.00638727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160171508789062 × 2 - 1) × π
    0.679656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.13520538287654
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00638727} λ = 1.00638727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13520538287654))-π/2
    2×atan(8.45878361778049)-π/2
    2×1.45312219718504-π/2
    2.90624439437008-1.57079632675     		φ = 1.33544807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00638727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.661743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33544807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.515538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43265 KachelY 10497 1.00638727 1.33544807 57.661743 76.515538
    Oben rechts KachelX + 1 43266 KachelY 10497 1.00648314 1.33544807 57.667236 76.515538
    Unten links KachelX 43265 KachelY + 1 10498 1.00638727 1.33542571 57.661743 76.514257
    Unten rechts KachelX + 1 43266 KachelY + 1 10498 1.00648314 1.33542571 57.667236 76.514257
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33544807-1.33542571) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dl = 142.455559999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33544807-1.33542571) × R
    2.2359999999999e-05 × 6371000     		dr = 142.455559999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00638727-1.00648314) × cos(1.33544807) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23318165611315 × 6371000     		do = 142.424503742255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00638727-1.00648314) × cos(1.33542571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233203399661057 × 6371000     		du = 142.437784435392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33544807)-sin(1.33542571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23318165611315-0.233203399661057)×R²
    abs(1.00648314-1.00638727)×2.17435479064332e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17435479064332e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17435479064332e-05×40589641000000     		ar = 20290.1083936803m²