Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43272 / 10504
↖ ↑ ↗
← N 76.506569°
E 57.700195°		 ← 142.52 m → N 76.506569°
E 57.705688°		 →
↑
142.52 m
↓
↑
142.52 m
↓
N 76.505287°
E 57.700195°		 ← 142.53 m →
20 312 m²		 N 76.505287°
E 57.705688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.660285949707031 y=0.160285949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.660285949707031 × 216)
    floor (0.660285949707031 × 65536)
    floor (43272.5)     		tx = 43272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160285949707031 × 216)
    floor (0.160285949707031 × 65536)
    floor (10504.5)     		ty = 10504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43272 / 10504 ti = "16/43272/10504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43272/10504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43272 ÷ 216
    43272 ÷ 65536     		x = 0.6602783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10504 ÷ 216
    10504 ÷ 65536     		y = 0.1602783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6602783203125 × 2 - 1) × π
    0.320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.00705839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1602783203125 × 2 - 1) × π
    0.679443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13453426628186
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.00705839} λ = 1.00705839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13453426628186))-π/2
    2×atan(8.45310869220515)-π/2
    2×1.45304392560721-π/2
    2.90608785121442-1.57079632675     		φ = 1.33529152
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.00705839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 57.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33529152 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.506569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43272 KachelY 10504 1.00705839 1.33529152 57.700195 76.506569
    Oben rechts KachelX + 1 43273 KachelY 10504 1.00715426 1.33529152 57.705688 76.506569
    Unten links KachelX 43272 KachelY + 1 10505 1.00705839 1.33526915 57.700195 76.505287
    Unten rechts KachelX + 1 43273 KachelY + 1 10505 1.00715426 1.33526915 57.705688 76.505287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33529152-1.33526915) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dl = 142.519269999607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33529152-1.33526915) × R
    2.23699999999383e-05 × 6371000     		dr = 142.519269999607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.00705839-1.00715426) × cos(1.33529152) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233333887671529 × 6371000     		do = 142.51748491632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.00705839-1.00715426) × cos(1.33526915) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.233355640126802 × 6371000     		du = 142.530771049969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33529152)-sin(1.33526915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233333887671529-0.233355640126802)×R²
    abs(1.00715426-1.00705839)×2.17524552738879e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.17524552738879e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.17524552738879e-05×40589641000000     		ar = 20312.4346781157m²