Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43521 / 10751
↖ ↑ ↗
← N 76.186307°
E 59.067993°		 ← 145.85 m → N 76.186307°
E 59.073486°		 →
↑
145.83 m
↓
↑
145.83 m
↓
N 76.184995°
E 59.067993°		 ← 145.86 m →
21 271 m²		 N 76.184995°
E 59.073486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10751 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664085388183594 y=0.164054870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664085388183594 × 216)
    floor (0.664085388183594 × 65536)
    floor (43521.5)     		tx = 43521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164054870605469 × 216)
    floor (0.164054870605469 × 65536)
    floor (10751.5)     		ty = 10751
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43521 / 10751 ti = "16/43521/10751"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43521/10751.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43521 ÷ 216
    43521 ÷ 65536     		x = 0.664077758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10751 ÷ 216
    10751 ÷ 65536     		y = 0.164047241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.664077758789062 × 2 - 1) × π
    0.328155517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03093096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164047241210938 × 2 - 1) × π
    0.671905517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11085343786955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03093096} λ = 1.03093096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11085343786955))-π/2
    2×atan(8.25528365077971)-π/2
    2×1.45024911530794-π/2
    2.90049823061589-1.57079632675     		φ = 1.32970190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03093096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.067993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32970190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.186307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43521 KachelY 10751 1.03093096 1.32970190 59.067993 76.186307
    Oben rechts KachelX + 1 43522 KachelY 10751 1.03102684 1.32970190 59.073486 76.186307
    Unten links KachelX 43521 KachelY + 1 10752 1.03093096 1.32967901 59.067993 76.184995
    Unten rechts KachelX + 1 43522 KachelY + 1 10752 1.03102684 1.32967901 59.073486 76.184995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32970190-1.32967901) × R
    2.28900000001087e-05 × 6371000     		dl = 145.832190000692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32970190-1.32967901) × R
    2.28900000001087e-05 × 6371000     		dr = 145.832190000692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03093096-1.03102684) × cos(1.32970190) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238765542164972 × 6371000     		do = 145.85028480438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03093096-1.03102684) × cos(1.32967901) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.238787770060559 × 6371000     		du = 145.863862747297m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32970190)-sin(1.32967901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238765542164972-0.238787770060559)×R²
    abs(1.03102684-1.03093096)×2.22278955867572e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.22278955867572e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.22278955867572e-05×40589641000000     		ar = 21270.6564967393m²