Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43522 / 10754
↖ ↑ ↗
← N 76.182372°
E 59.073486°		 ← 145.88 m → N 76.182372°
E 59.078979°		 →
↑
145.90 m
↓
↑
145.90 m
↓
N 76.181060°
E 59.073486°		 ← 145.89 m →
21 284 m²		 N 76.181060°
E 59.078979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43522 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664100646972656 y=0.164100646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664100646972656 × 216)
    floor (0.664100646972656 × 65536)
    floor (43522.5)     		tx = 43522
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164100646972656 × 216)
    floor (0.164100646972656 × 65536)
    floor (10754.5)     		ty = 10754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43522 / 10754 ti = "16/43522/10754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43522/10754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43522 ÷ 216
    43522 ÷ 65536     		x = 0.664093017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10754 ÷ 216
    10754 ÷ 65536     		y = 0.164093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.664093017578125 × 2 - 1) × π
    0.32818603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.03102684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164093017578125 × 2 - 1) × π
    0.67181396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.11056581647183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03102684} λ = 1.03102684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11056581647183))-π/2
    2×atan(8.25290959598833)-π/2
    2×1.45021477347336-π/2
    2.90042954694673-1.57079632675     		φ = 1.32963322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03102684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.073486°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32963322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.182372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43522 KachelY 10754 1.03102684 1.32963322 59.073486 76.182372
    Oben rechts KachelX + 1 43523 KachelY 10754 1.03112271 1.32963322 59.078979 76.182372
    Unten links KachelX 43522 KachelY + 1 10755 1.03102684 1.32961032 59.073486 76.181060
    Unten rechts KachelX + 1 43523 KachelY + 1 10755 1.03112271 1.32961032 59.078979 76.181060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32963322-1.32961032) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dl = 145.895900000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32963322-1.32961032) × R
    2.29000000000479e-05 × 6371000     		dr = 145.895900000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03102684-1.03112271) × cos(1.32963322) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.238832235186989 × 6371000     		do = 145.875808333973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03102684-1.03112271) × cos(1.32961032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.2388544724177 × 6371000     		du = 145.88939056253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32963322)-sin(1.32961032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238832235186989-0.2388544724177)×R²
    abs(1.03112271-1.03102684)×2.22372307107921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22372307107921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22372307107921e-05×40589641000000     		ar = 21283.6731418642m²