Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 43536 / 10768
↖ ↑ ↗
← N 76.163992°
E 59.150391°		 ← 146.07 m → N 76.163992°
E 59.155884°		 →
↑
146.09 m
↓
↑
146.09 m
↓
N 76.162679°
E 59.150391°		 ← 146.08 m →
21 339 m²		 N 76.162679°
E 59.155884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 43536 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.664314270019531 y=0.164314270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.664314270019531 × 216)
    floor (0.664314270019531 × 65536)
    floor (43536.5)     		tx = 43536
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164314270019531 × 216)
    floor (0.164314270019531 × 65536)
    floor (10768.5)     		ty = 10768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 43536 / 10768 ti = "16/43536/10768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/43536/10768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 43536 ÷ 216
    43536 ÷ 65536     		x = 0.664306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10768 ÷ 216
    10768 ÷ 65536     		y = 0.164306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.664306640625 × 2 - 1) × π
    0.32861328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.03236907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.164306640625 × 2 - 1) × π
    0.67138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10922358328247
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.03236907} λ = 1.03236907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10922358328247))-π/2
    2×atan(8.24183969767421)-π/2
    2×1.45005438469797-π/2
    2.90010876939593-1.57079632675     		φ = 1.32931244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.03236907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 59.150391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32931244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.163992°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 43536 KachelY 10768 1.03236907 1.32931244 59.150391 76.163992
    Oben rechts KachelX + 1 43537 KachelY 10768 1.03246494 1.32931244 59.155884 76.163992
    Unten links KachelX 43536 KachelY + 1 10769 1.03236907 1.32928951 59.150391 76.162679
    Unten rechts KachelX + 1 43537 KachelY + 1 10769 1.03246494 1.32928951 59.155884 76.162679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32931244-1.32928951) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dl = 146.087030000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32931244-1.32928951) × R
    2.29300000000876e-05 × 6371000     		dr = 146.087030000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.03236907-1.03246494) × cos(1.32931244) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.239143719791403 × 6371000     		do = 146.066059320893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.03236907-1.03246494) × cos(1.32928951) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.23916598439582 × 6371000     		du = 146.079658268975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32931244)-sin(1.32928951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239143719791403-0.23916598439582)×R²
    abs(1.03246494-1.03236907)×2.22646044174823e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22646044174823e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22646044174823e-05×40589641000000     		ar = 21339.3501061912m²