Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 44 / 60
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
E 67.500000°		 ← 79.732 km → S 82.676285°
E 73.125000°		 →
↑
75.971 km
↓
↑
75.971 km
↓
S 83.359512°
E 67.500000°		 ← 72.329 km →
5 776.21 km²		 S 83.359512°
E 73.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6953125 y=0.9453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6953125 × 26)
    floor (0.6953125 × 64)
    floor (44.5)     		tx = 44
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9453125 × 26)
    floor (0.9453125 × 64)
    floor (60.5)     		ty = 60
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 44 / 60 ti = "6/44/60"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/44/60.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44 ÷ 26
    44 ÷ 64     		x = 0.6875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60 ÷ 26
    60 ÷ 64     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6875 × 2 - 1) × π
    0.375 × 3.1415926535     		Λ = 1.17809725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.17809725} λ = 1.17809725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.17809725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 67.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44 KachelY 60 1.17809725 -1.44297339 67.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 45 KachelY 60 1.27627202 -1.44297339 73.125000 -82.676285
    Unten links KachelX 44 KachelY + 1 61 1.17809725 -1.45489794 67.500000 -83.359512
    Unten rechts KachelX + 1 45 KachelY + 1 61 1.27627202 -1.45489794 73.125000 -83.359512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.45489794) × R
    0.01192455 × 6371000     		dl = 75971.3080500002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.45489794) × R
    0.01192455 × 6371000     		dr = 75971.3080500002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.17809725-1.27627202) × cos(-1.44297339) × R
    0.09817477 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 79732.0645165371m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.17809725-1.27627202) × cos(-1.45489794) × R
    0.09817477 × 0.115639094724005 × 6371000     		du = 72328.953371941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.45489794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.115639094724005)×R²
    abs(1.27627202-1.17809725)×0.0118360494793831×R²
    0.09817477×0.0118360494793831×6371000²
    0.09817477×0.0118360494793831×40589641000000     		ar = 5776205661.94209m²