Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 44031 / 11265
↖ ↑ ↗
← N 75.495782°
E 61.869507°		 ← 152.97 m → N 75.495782°
E 61.875000°		 →
↑
152.97 m
↓
↑
152.97 m
↓
N 75.494406°
E 61.869507°		 ← 152.99 m →
23 401 m²		 N 75.494406°
E 61.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 44031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.671867370605469 y=0.171897888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.671867370605469 × 216)
    floor (0.671867370605469 × 65536)
    floor (44031.5)     		tx = 44031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.171897888183594 × 216)
    floor (0.171897888183594 × 65536)
    floor (11265.5)     		ty = 11265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 44031 / 11265 ti = "16/44031/11265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/44031/11265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 44031 ÷ 216
    44031 ÷ 65536     		x = 0.671859741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11265 ÷ 216
    11265 ÷ 65536     		y = 0.171890258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.671859741210938 × 2 - 1) × π
    0.343719482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.07982660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.171890258789062 × 2 - 1) × π
    0.656219482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.06157430506013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.07982660} λ = 1.07982660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.06157430506013))-π/2
    2×atan(7.85833148826543)-π/2
    2×1.44422314364496-π/2
    2.88844628728992-1.57079632675     		φ = 1.31764996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.07982660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 61.869507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31764996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.495782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 44031 KachelY 11265 1.07982660 1.31764996 61.869507 75.495782
    Oben rechts KachelX + 1 44032 KachelY 11265 1.07992247 1.31764996 61.875000 75.495782
    Unten links KachelX 44031 KachelY + 1 11266 1.07982660 1.31762595 61.869507 75.494406
    Unten rechts KachelX + 1 44032 KachelY + 1 11266 1.07992247 1.31762595 61.875000 75.494406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31764996-1.31762595) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dl = 152.967709999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31764996-1.31762595) × R
    2.40099999999632e-05 × 6371000     		dr = 152.967709999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.07982660-1.07992247) × cos(1.31764996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250451283493359 × 6371000     		do = 152.972580938543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.07982660-1.07992247) × cos(1.31762595) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.250474528203341 × 6371000     		du = 152.986778523118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31764996)-sin(1.31762595))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.250451283493359-0.250474528203341)×R²
    abs(1.07992247-1.07982660)×2.32447099827726e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32447099827726e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32447099827726e-05×40589641000000     		ar = 23400.9512860258m²